数值计算方法与算法教学课件电子教案全套课件.pptx

;Computation Methods; ;运算量：;算法优劣的重要性;例 2 解线形方程组;本课程的任务：;;学习方法;先修课程和后续课程：先修课程：高等数学，线性代数，常微分方程， 计算机语言等。后继课程：数值代数，数值逼近，最优化方法等。;参考书： 1.《计算方法引论》（第二版），徐萃薇，孙绳武编著。 高等教育出版社，2002  2. 《数值分析》, 李庆扬，王能超，易大义编。 清华大 学出版社 ,**** 3. 《数值计算方法》, 关治，陈景良。清华大学出版社， ****;0.2 误差与有效数字; (绝对)误差 设 x* 为精确值（或准确值），x 为 x* 的近似值，称 e = x*－ x 为近似值x的(绝对)误差。 (绝对)误差限 （ ε ） 如果精确值 x* 与近似值 x 的误差的绝对值不超过某个正数 ε，即 | e |= | x*－ x |≤ ε。 于是，精确值也可表示为 x* = x ± ε， 或 ;例如 近似值 x1= 123.456 和 x2 = 0.0123456 。它们的绝 对误差限分别为：;相对误差;相对误差限;有效数字： 设 x* 的近似值为;0.3 约束误差;0.4 范数;向量范数的定义;Rn中常用范数形式：  设x=(x1,x2,…,xn)T，;注：定义中的规则十分重要;范数的等价性和等价性定理;证明提示：（1）;向量范数的收敛性;例0.3 求向量序列 的极限向量。;矩阵范数;矩阵范数可以用向量范数定义;欧几里得(Euclid)范数或舒尔(Schur)范数：;矩阵范数的收敛性;矩阵的谱半径; 特别地，对于对称矩阵有：;2006年9月15日  星期五上午：8:00-11:35 （电气、材料、土木） 星期五下午：14:10-16:45 （机械、化工、工程力学、环水） 北1204教室;;在计算机上是否根据数学公式编程就能得到正确结果?;;计算机中数的计算特点: 1. 加法先对阶,后运算,再舍入 2. 乘法先运算,再舍入 3. 不在计算机数系中的数做四舍五入处理;绝对误差：e = x* - x , x* 是准确数 x是近似数 绝对误差限?：|e| = |x* - x|? ? 常表示为x= x* ? ?或x* - ? ?x ?x* + ? 相对误差：er =(x*-x)/x* , x* 是准确数, x是??似数 相对误差限?r：|er/ x*|= |x* - x|/|x*| ? ?r 相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异 例:考虑 1.x* =10, x=11 e=-1 er=-0.1 2.x* =1000, x=1001 e=-1 er=-0.001 ;如果|e| = |x* - x|? 0.5 ?10-k 称近似数x准确到小数点后第k位,从这小数点后第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字. ;例如:设 x1=1.73, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值,问它们分别有几位有效数字?;四则运算的误差;数值计算中值得注意的问题 ;二、防止大数吃小数. 当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数吃掉从而引起计算结果很不可靠. 例:求一元二次方程x2-(108 +1)x+108=0 的实数根. 采用因式分解法,很容易得到两个根为x1=108,x2=1.如采用字长为16位的单精度计算机来计算,求得根为x1≈108 ,x2≈0.(怎样计算可得较好的结果?) 两者结果不同,因为计算机计算时做加减法要 “对阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差.为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以根据一些具体情况,存在需要把某些算式改写成另一种等价的形式.;四、注意计算步骤的简化,减小运算次数. ;第 1 章 插值法;;1.1 插值法;插值法;　　设 f(x)为[a，b]上的函数，在互异点x0 , x1, ... , xn 处的函数值分别为 f(x0) , f (x1) , … , f (xn) ,构造一个简单