微专题5立体几何：球的切接（师）公开课.docxVIP

PAGE PAGE 1 微专题5 立体几何相关问题 一、球的切接问题 1．三角形的外心基本原理: . 注：等边三角形的外心，直角三角形的外心，正方形，长方形的外心. 2.用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质： （1）球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。 （2）球心和截面圆心的连线垂直于截面。 （3）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r2=R2-d2 3．长方体的外接球心：体对角线的交点；半径：R＝eq \f(\r(a2＋b2＋c2),2)(a，b，c为长、宽、高)． 4.半径是R的球的体积 ： ;半径是R的球的表面积 ：S=4πR2 二．典例分析 (一)墙角模型 墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 例1．已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（???） A． B． C． D． 解：因为平面，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，则两两互相垂直，将三棱锥补形成以为长宽高的长方体，如下图所示， 又是球面上的四个点，所以球的直径为该长方体的体对角线，又，，所以该长方体的体对角线长为，即球的直径，其中是球的半径；所以球的表面积为.故选:B. 练习1.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是__9π.___ 练习2（2019年全国I卷）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　D　) A．8 eq \r(6) π B．4 eq \r(6) π C．2 eq \r(6) π D． eq \r(6) π 【 【练习3】 3. 如图，已知球O面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O点体积等于___9/2π.______ (二)对棱相等：补成长方体 例2．（2018浙江初赛）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 解：如下图所示， 将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、， 则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为， 由勾股定理得，上述三个等式全加得， 所以，该四面体的外接球直径为，因此，四面体的外接球的表面积为，故选：． 思考：将三边长分别为的三角形沿三条中位线折成一个四面体，则四面体的外接球的表面积为? 练习1.在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D，且 则____8__． 练习2.在平行四边形ABCD中，AB＝2 eq \r(2) ，BC＝3，且cos A＝ eq \f(\r(2),3) ，沿BD将△BDC折起，使点C到达点E处，且满足AE＝AD，则三棱锥E-ABD的外接球的表面积为________．13π. (三)．三棱锥 假设正四面体棱长为,其外接球半径为，内切球半径为，则. 例3．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（???????） A． B． C． D． 解析：如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体， 则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为， 正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，所以正四面体的外接球体积为．故选：A 练习1.已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，则此正三棱锥的外接球半径为__4___ 练习2.(2011年联赛)在四面体ABCD中，已知则四面体ABCD的外接球的半径为_______.（余弦定理 ，正弦定理） 练习3.(2021·重庆调研二)已知三棱锥S－ABC各顶点均在球O上，SB为球O的直径，若AB＝BC＝2，∠ABC＝eq \f(2π,3)，三棱锥S－ABC的体积为4，则球O的表面积为(　　) A．120π B．64π C．32π D．16π 解析　如图 所示，由AB＝BC＝2，∠ABC＝eq \f(2π,3)得AC＝2eq \r(3)，则S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BCsin eq \f(2π,3)＝eq \r(3)， 设△ABC外接圆圆心为O′，则OO′⊥⊙O′， 由正弦定理可知，△ABC外接圆半径O′A＝eq \f(2\r(3),2sin \f(2π,3))＝2，设S到面ABC距离为d， 由SB为球O直径可知OO′＝eq \f(1,2)d，∴VS－ABC＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×d＝4，∴d＝4eq \r(3)，则OO′＝2eq \r(3)， ∴球的半径OA＝eq \r(O′A2＋O′O2)＝eq \r(4＋12)＝4