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近似解析方法 1、奇异摄动法 2、试验函数法 3、正交配置法 解析解与数值解的比较 解析解——由简单函数关系式直接给出的对应关系 结构简单，计算代价小 结果可靠，直观，便于应用 对一般问题难以得到 数值解——以大量数字对应方式给出的函数关系 适用性广，可处理复杂问题和大规模问题 依赖于计算工具和特定算法，代价较大 近似解析解——准确解的近似解析表达式 局部精确性较差，但整体规律性好 形式简单而满足工程应用 容易得到 数学问题的求解原则 首先求准确解析解 其次求近似解析解 最后采用数值解 §1 摄动法 摄动法——将问题对小参数进行级数展开的求解方法 正则摄动：小参数直接展开的方法 奇异摄动：直接展开失效后采用的专门方法或改进方 法 1、正则摄动与奇异摄动 例1 最高次项含小参数的非线性代数方程的求解 设 得 正则摄动只能得到一个根，因为直接展开失去了问题的非线性性质。 如果作变换 y = u/ ，得 然后对u 直接展开，得到另一个根 准确解为 当 →0时，其两个根分别趋于y →a和y →－1 ，对应的两个摄动解分别称为正则摄动解与奇异摄动解。 例2 小参数位于非导数项中的情况 设 得 近似解与准确解 极为接近，这种情况下正则摄动法是奏效的。 例3 方程最高阶导数乘小参数的情况 当 ＝0时，方程由二阶退化成一阶方程，近似解只能满足一个边值而难以同时满足两个边值。 直接展开得到 取x =1处的边界条件 y0 (1) = ，y1 (1) = 0，得到 在 x =0 处 因此，近似解不满足x =0 处的边值。 分析： x =0 处存在一个边界层 边界层的存在是小参数乘最高阶导数问题的特征 概念：渐近级数与收敛级数 收敛级数：按变量展开的级数，如泰勒级数，三角级数，幂级数等，级数的精度随项数的增加而提高； 渐近级数：按参数展开的级数 系数yn(x)是由展开后的问题顺序解出的，因此级数不一定收敛，一般只取级数的2～3项。 2、边界层方法 基本思想： 放大镜——将空间边界层放大，使分布变平缓，突出边界层内的作用； 慢镜头——将时间尺度放大，使变化减缓，突出快速变化的过程。 历史来源与发展： Prandtl边界层方程，Blasuis匹配方法，PLK方法 边界层方法的求解步骤 1、外解——直接展开 2、内解——边界层放大 3、匹配——内解与外解的衔接 4、合成——内解与外解的组合 例3 1、外解 2、内解 边界层放大，定义内部坐标 取＝1以保留二阶导数项，得 令 得 解出0阶近似 常数C由匹配条件确定 3、匹配 Prandtl匹配原理——0阶近似的匹配方法 得0阶内解 4、合成 加法合成法 合成解＝外解＋内解－公共部分 高阶近似的匹配——Van Dyke匹配原理 n项外解的m项内部展开 ＝ m项内解的n项外部展开 匹配后的两项近似内解 合成后的两项近似解 3、时间边界层——刚性问题（stiff equs) 刚性问题：具有不同时间尺度的变化问题； 特点：快步骤与慢步骤共存 拟稳态近似与定常态近似 计算难点：数值振荡，多步Gear 方法 奇异摄动：慢镜头分析，给出完整的结果 例 慢时间尺度解（＝0）——拟稳态近似 快时间尺度解——定常态近似 合成与匹配——Von Dyke匹配原理 例：催化剂的平行失活问题 反应快、失活慢，二者均需要考虑 无量纲化 1、先求内解，内解可完全确定 令 得到两项近似内解 2、直接展开求外解，外解不满足初值，含任意常数 3、内、外解匹配确定外解任意常数 得到外解 4、合成含有快、慢尺度的统一解 4、移动的空间边界层问题 非线性色谱过程的浓度前沿 非线性吸附效应与扩散效应之间的竞争作用 移动的空间边界层的形成 求解思路 外解——非线性色谱问题的激波解 内解——采用跟随激波的移动坐标系，放大边界层 匹配与合成 问题 1、外解 由特征线法 浓度激波位置xs由匹配条件确定 2、边界层内解 积分得 3、匹配 由以上Prandtl匹配条件得激波间断关系 解得激波轨迹 边界层内解 4、0阶近似合成解 §2 试验函数方法 思想：用已知的、含待定参数的简单函数近似代替准确解，用积分形式的方程或点近似方程代替微分方程，确定不定参数。 以牺牲一些局部的精