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建立数学模型;玩具、照片、飞机、火箭模型… …;你碰到过的数学模型——“航行问题”;航行问题建立数学模型的基本步骤;数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling);;1.2 数学建模的重要意义;数学建模的具体应用;1.3 数学建模示例;模型构成;用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来;连续函数的零点定理（介值定理）;模型求解;1.3.2 商人们怎样安全过河;模型构成;模型求解;思考：;阿拉伯夫妻过河问题  有三对阿拉伯夫妻要过河，船最多可载两人。  约束条件是根据阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不在场的情况下与另外男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河? 四对夫妻呢？  人、狗、鸡、米过河问题  某人要带一条狗、一只鸡、一箩米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米。问此人应如何过河? ; 从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩 短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界 经济的发展。; 下面介绍两个基本的人口模型，并利用表1给出的近两个 世纪的美国人口统计数据（单位：百万）对模型作出检验， 最后用它预报2010年美国的人口。;年;在上面的问题中，假定人口的年增长率 是一个不变的常 数。; 建模 记时刻 时的人口为 ，并视其为连续变量， 初始时 的人口为 ，从 到 时间内人口的 增量为 ，则有;由这个方程容易解得：; 以1790年到1900年的数据拟合⑷式，可得;1790—1900实际人口与计算人口的比较;1790—2000实际人口与计算人口比较;年; 结果分析 用上面得到的参数 代入⑶式，将计 算结果与实际数据作比较得下表，表中计算人口 是用 1790年的数据拟合的结果；计算人口 是用全部数据拟 合的结果，用这个模型基本上能够描述19世纪以前美国 人口的增长情况，但是进入20世纪后，美国人口增长明 显放慢，此时模型不再适合了。;年;阻滞增长模型(Logistic模型);;参数估计;模型检验;一、机理分析法----根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律面得出模型。1. 比例分析法----建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。2. 代数方法----求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。3. 逻辑方法----是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。4. 常微分方程----解决两个变量之间的变化规律，关键是建立瞬时变化率的表达式。5. 偏微分方程----解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 ;二、测试分析(或数据分析法)----将对象看作“黑箱”,通过大量对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。 1. 回归分析法----用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。2. 时序分析法----处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。;三、仿真和其他方法1. 计算机仿真（模拟）----实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。① 离散系统仿真----有一组状态变量。② 连续系统仿真----有解析表达式或系统结构图。2. 因子试验法----在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。 ; 数学建模的一般步骤;模 型 假 设;模型 求解;数学建模的全过程;1.5 数学模型的特点和分类;数学模型的分类;1.6 怎样学习数学建模;练习;解：;37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？;3 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？;甲乙两站有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？;5. 兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的小狗一直在二人之间来回奔跑。