幂函数及幂函数知识总结.docVIP

PAGE PAGE 1 幂函数 知识点总结 1．幂函数的概念 （1）一般地，幂函数的表达式为，其中为常数；其特征是以幂的底为自变量，指数为常数。 （2）所有的幂函数在区间都有定义，并且图象都通过点(1,1)。 （3）学习和理解幂函数的概念时要注意以下几点： ①形如形式的函数不是幂函数。 ②幂函数中的为任意实数。 ③确定一个幂函数，只需求出即可。 2．幂函数的图象 我们只讨论幂函数中时的图象。 在同一平面直角坐标系作出幂函数的图象。 （1）列表、（2）描点：3）连线：用光滑的曲线将各点连结起来。如图 （2）记熟上面各函数图象的形状，及它们之间的“高低”关系。（3）函数可记为。（4）时，图象都过点，时，只过(1,1)不过(0,0)点。 3．幂函数的性质 从上图可以观察到幂函数的特征如下： 函 函 数 特 征 性 质 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 时，增 增 增 时，减 时，减 时，减 定点 (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) 结合以上特征得幂函数的性质如下： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点(1,1)； （2）如果，则幂函数的图象过原点，并且在区间上为增函数； （3）如果，则幂函数的图象在区间上是减函数，在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋向于时，图象在轴上方无限地逼近轴； （4）当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶函数，幂函数为偶函数。 4．求幂函数的定义域、值域 幂函数的定义域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解。 5．幂函数的单调性和奇偶性 幂函数的单调性与奇偶性与一般函数的单调性和奇偶性相同，在证明或判断时，主要应用定义法判断，有时也用幂函数的性质加以判断。 6．比较大小 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可与0和1去比较，这种方法叫“搭桥”法。 经典例题 1.如图，幂函数在第一象限内的图象，已知取四个值，则相应于曲线的依次为（ ） A． B． C． D． 2.如图所示是函数的图象，则（ ） A．是奇数，且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，是奇数，且 3.函数的定义域是全体实数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较0,,1的大小（ ） A． B． C． D． 5．的图象是（ ） 6．函数是幂函数，且时为减函数，则实数m的值为（ ） A．或2 B． C． D． 7．给出下列说法： ①函数的图象关于原点成中心对称； ②函数的图象关于y轴成轴对称； ③函数在上是减函数. 其中正确说法的个数是（ ） A．0 B．1 C 8．函数的图象是 （ ） A． B． C． D． 9．函数和图象满足 （ ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 10． 函数，满足 （ ） A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数 C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数 11．函数的单调递减区间是 （ ） A． B． C． D． 12．函数的定义域是 . 13．的解析式是 . 14．是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 . 15．幂函数图象在一、二象限，不过原点，则的奇偶性为 . 16．若，则 17已知函数； （1）证明：是奇函数，并求的单调区间； （2）分别计算和的值，由此概括出涉及函数和对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明。 18.比较下列各组数的大小； （1）和； （2）和 （3）和 19．已知幂函数f（x）＝（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）． 20．已知函数（a为常数）. （1）a为何值时此函数为幂函数？ （2）a为何值时此函数为正比例函数？ （3）a为何值时此函数为反比例函数？ 21．求不等式的解集. 22．已知函数y＝． （1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间． 　　 幂 函 数 复 习 一、幂函数定义：形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数。 注意：幂函数与指数函数有何不同？ 【思考·提示】　本质区别在于自变量的位置不同，