2023届高考数学二轮精讲三角与向量 第9讲 平面向量的综合应用 Word版含解析.docxVIP

第9讲 平面向量的综合应用 知识与方法 本专题为平面向量的综合应用.平面向量融“数”“形”于一体，主要有两个作用：①载体作用，利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 平面向量具有几何与代数的双重身份，向量的坐标表示和运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合创造了条件.以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式等相结合的一类综合问题.在解题时，通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，这是解决这类问题的一般方法. （1）矩形的性质定理： 设O是矩形ABCD所在平面内一点，则. （2）四边形对角线向量定理： 已知四边形ABCD，则. 典型例题 【例1】若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是________. 【分析】 本题考查平面向量与解三角形，考查两个向量的夹角问题，三角形面积与不等式的转化. 【解析】解法1 如图，向量与在单位圆O内，由于，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，故以向量为边的三角形的面积为，故的终点在如图所示的线段AB上.（且圆心O到AB的距离为）因此夹角的取值范围. 解法2 因为， 所以. 又因为，所以. 【点睛】 先利用以向量为邻边的平行四边形的面积，求出关于的【解析】式，再利用三角函数的性质，求出夹角的范围.注意两个共起点的向量夹角范围是. 【例2】已知向量满足，则的最小值是________，最大值是________. 【分析】 本题求函数（模的和问题）的最值可利用数形结合的方法，涉及余弦定理、线性规划等基础知识. 【解析】解法1 设向量的夹角为，由得 ， 同理，， 则. 令， 则. 据此可得的最小值是4，最大值是. 解法2 因为，如图1所示建立坐标系，设， 则， 所以.（下同【解析】1） 解法3 设，则. 所以. 同理，可得最小值是4，最大值是. 解法4 因为， 设. 问题转化为当时，求的最值. 如图2，设，当直线过点或时，截距最小为4； 当直线与圆相切时，，截距最大为. 综上，所求的最小值是4，最大值是. 【点睛】 对于，掌握向量模的求解公式. 【例3】 已知向量，平面向量b满足，求的最小值. 【分析】 本题求数量积的最值，可转化为求二次函数的最值. 【解析】 因为，所以，于是. 所以. 综上，的最小值为20. 【点睛】 题中涉及向量的坐标表示、数量积的运算性质等知识，通过变形可以将所求式转化为关于的函数表达式. 【例4】 对任意两个非零的平面向量和，定义.若平面向量满足，a与b的夹角，且和都在集合中，则（ ） A． B．1 C． D． 【分析】 本题是新定义问题，借助向量的数量积定义了一种新的向量运算，灵活性强，能较好地考查学生的数学素养. 【解析】，两式相乘，可得. 因为，所以都是正整数，于是，即，所以.而，所以，于是.故选C. 【点睛】 牢记向量数量积的定义，结合向量夹角余弦值的有界性进行求解. 【例5】 在△ABC中，已知AB=4，AC=5，BC=6，点O为△ABC的外心，记，，则（ ） A. B. C. D. 【分析】 本题巧妙地将向量的数量积运算与三角形的外心融合，外心是三角形三边中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心，本题可利用数量积的几何意义加以解决. 【解析】 因为， ，所以. 【点睛】 若点O为△ABC的外心，则 . 向量表示三角形“四心”的相关结论： 在△ABC中，设O是△ABC所在平面上一点. （1）若，则O是△ABC的外心； （2）若，则O是△ABC的重心； （3）若，则O是△ABC的垂心； （4）若，则O是△ABC的内心. 【例6】在平面四边形ABCD中，已知，求的值. 【分析】 可以取特殊四边形算出答案.当对角线互相垂直平分时，可建立坐标系求解，一般做法是把所求式中的向量往已知长度的上转化. 【解析】 因为， ， 所以 . 【点睛】 求四边形中的向量数量积的关键在于转化与化归. 【例7】 若向量满足且，求的最小值. 【分析】 由题意知与垂直，故c的终点轨迹是圆，圆心是终点连线的中点，半径为，利用数形结合的方法即可求解. 【解析】记，则，即.于是点C在以AB为直径的圆上，如图，设圆心为点D，所以. 故所求的最小值为2. 【点睛】 看到数量积为零，联想到向量垂直，尝试利用数形结合的方法解决，注意和是平行四边形的两条对角线的长. 【例8】已知平面向量满足，求的最小值. 【分析】 解法1将不等式平方后出现，借助基本不等式求最小值；解法2用极化恒等式求解. 【解析】解法1 将平方可得. 由于，所以， 故，于是. 解法2 设，则. 又，其中C为线段AB的中点. 所以