数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.2用空间向量研究夹角问题.pptxVIP

1.4.2用空间向量研究夹角问题知识回顾单位向量：投影向量:投影:知识回顾点到线的距离?PQ=uPPAQ点P到直线AB的距离PnAAQQBll点到面的距离?PQ==?导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究角的问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究.直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角研究路径：求解直线与直线所成的角典例1如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M,N分别是BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.A分析：N直线AM和CN夹角的余弦值BD直线和夹角的余弦值?MC第1步：化为向量问题+ b ??+ c?设=c , 以基底，则 , .?设向量与的夹角为，则直线AM和CN夹角的余弦值等于.?第2步：进行向量运算A= + b)(+ c)=+b+++=?N?又=?BD??所以= M?C第3步：回到图形问题?所以，直线AM和CN夹角的余弦值为.向量法或坐标法例题小结1?用空间向量求两条直线，夹角的步骤与方法：化为向量问题①转化为求两直线，的方向向量，的夹角?回到图形问题?进行向量运算?③两条直线，夹角的余弦值解:过A作AO垂直于平面BCD,易知分别以直线OC,OA,为x,z轴,建立空间直角坐标系(如右图).归纳总结1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.(1)建立适当的空间直角坐标系.(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.(2)范围:异面直线所成角的范围是 ,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.用向量方法解决几何问题的基本步骤：几何问题 向量问题 向量运算 几何解释问题2你能用向量方法求问题1中的直线AB与平面BCD所成的角吗？ 如何用空间向量求直线与平面所成的角？追问：这个问题的已知条件是什么？如何将几何问题转化成向量问题？直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.?若直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，直线与平面的夹角为，则?s = 直线AB与平面BCD所成的角的正弦值平面与平面所成的角，可以转化为法向量与法向量的夹角.若平面的法向量分别为n1n2，??则平面与平面的夹角即为向量n1n2的夹角或其补角.?设平面与平面的夹角为，则?cos = ?平面与平面的夹角与二面角的区别和联系：二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是：0而平面和平面的夹角是指平面和平面相交，形成的四个二面角中不大于 的二面角.?问题3：类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步地，如何求平面和平面的夹角？如图，平面和平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为和的夹角.解：①化为向量问题②进行向量运算③回到图形问题小结用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：①建立空间立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体解决问题转化为向量问题；（化为向量问题）②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）③把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.（回到图形问题）4.归纳小结（1）这节课主要学习了哪些内容？（2）研究这些内容主要用了什么方法？（3）用向量方法解决立体几何问题的一般步骤是什么？A直线与直线的夹角Bcos = ?u直线与平面的夹角n2un?s = n1?l1?平面与平面的夹角vCl2??cos = ?5.布置作业教科书习题1.4第9，10题.目标检测设计教科书练习第1，2，3，4题.谢谢再见