2023届高考数学二轮精讲三角与向量 第7讲 平面向量的数量积及坐标表示 Word版含解析.docxVIP

第7讲 平面向量的数量积及坐标表示 知识与方法 本专题主要内容是向量数量积的定义、投影向量、数量积的几何意义、数量积的坐标表示、向量的模长公式、两个向量的夹角计算公式等.数量积有四种不同形式:原始定义、几何意义、极化恒等式、余弦定理形式.解题时选择合适的基底或建立平面直角坐标系表示向量及其数量积,要能因“题”制宜,灵活运用,合理选择其中一种形式进行求解. 1.数量积的定义 ,其中是与的夹角,的取值范围是. 投影向量 如图,设是两个非零向量,在平面内任取一点,作,过点作直线的垂线,垂足为,我们把叫做向量在上的投影向量. 3.数量积的几何意义 与的数量积等于与在方向上的投影向量的数量积. 4.数量积的坐标表示及性质 坐标表示:若,则. (1)；(解决垂直问题) (2);(求向量的长度) (3);(求向量的夹角) (4).(当时取等号) 5.极化恒等式. 6.余弦定理形式. 典型例题 【例1】已知,若与的夹角为,求的值. 【分析】本题是向量数量积的定义及坐标表示的运用,常用方法是先求出坐标,再通过两向量夹角计算公式,得到关于的方程. 【解析】由已知得,所以. 因为,又, 所以,所以,解得或(增根,舍去),所以. 【点睛】求解与向量模有关的问题,可利用坐标运算求解或进行平方化求解.利用数量积公式可建立一个关于的方程,进而求解. 【例2】已知都是非零向量,且与垂直,与垂直,求向量与的夹角. 【分析】两个向量垂直即它们的数量积为零,联立方程组消去得到的关系式,利用向量夹角公式求解. 【解析】由题意即 由(1)-(2)得,即,代人(1)得,所以.令与的夹角为,则,故,即与的夹角为. 【点睛】将向量的垂直和角度问题转化为与数量积有关的应用问题. 【例3】 设两个向量 满足 的夹角为 , 若向量 . 与 的夹角为钝角,求实数的取值范围. 【分析】因为与的夹角为钴角,所以两者的数量积小于零,但应排除两个向量反向的情形. 【解析】由向量与的夹角为钝角得,,化简得,解得.当夹角为时,也有,但此时夹角不是钝角. 综上,实数的取值范围是. 【点睛】研究两个向量夹角的范围,常用其数量积进行计算.夹角为锐角等价于且不同向(共线). 【例4】已知 是空间单位向量, . , 若空间向量 满足 , 且 A. B. C. D. 【分析】本题是向量垂直关系的判定,解法1将不等式平方,化为与向量模有关的不等式恒成立问题;解法2利用向量的几何意义,将模转化为点线距离. 【解析】解法1：将的两边平方得,即,展开并整理得. 对任意均成立,则需方程的判别式, 即. 又,所以,故,即. 故选C. 解法2：寻求不等式的几何意义,如图所示. 设,则即为,当时取等号,即当为点到直线间的距离时,点线之间的垂线段最短.所以,故选C. 【点睛】对于与向量模有关的不等式恒成立问题,常用解法为平方法,将原问题转化为二次函数的恒成立问题加以解决.利用的几何意义,即点线之间的垂线段最短求解更简捷. 【例5】已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2=12，若空间向量b满足b·e1==2，b·e2=52，且对于任意,则_____. 【分析】由可知,空间向量在上投影向量的长度分别为;表示的终点与确定平面上任意一点的距离,由题意知,的终点到确定平面的距离为1,将空间问题平面化,利用数形结合法求出. 【解析】解法1：由知,向量到为基底的平面的距离为1. 向量为平面的法向量,则与都垂直, 所以. 又,所以. 解法2：因为,所以. 不妨设， 由题意可知,解得,所以. 因为, 所以 . 当时,取最小值1, 此时,故.故答案为. 【点睛】要正确理解的几何意义,即其模最小值表示点面之间的距离也即垂线段最短,其中为平面的法向量. 【例6】已知平面向量满足,且与的夹角为,则的取值范围是_____. 【分析】本题研究向量的模与夹角,利用三角形中的边角关系进行求解. 【解析】解法1：设,因为与的夹角为,所以.又,所以点在圆弧上运动,的最小值为0,最大值为圆弧所在的圆的直径. 由正弦定理可得,又,所以的取值范围是. 解法2：由余弦定理可得,整理得,所以,即,故的取值范围是. 【点睛】对于三角形中涉及一边及对角的问题,可考虑利用三点共圆,解题时用正弦定理或余弦定理. 【例7】已知是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（） A.1 B.2 C. D. 【解析】解法1：由得.因为是平面内两个互相垂直的单位向量,所以. 所以,即的最大值是.故选C. 解法2：建立适当的平面直角坐标系,设,由得,即,整理得.故点在以为圆心、为半径的圆上,则的最大值等于圆的直径,故选C. 【解析】3设且,因为互相垂直,,所以互相垂直,