纯虚数的一个性质及应用.docxVIP

纯虚数的一个性质及应用 纯虚数是指实部等于0的复数，记为$i^2 = -1$，其中i为虚部单位，它广泛应用于数学和工程中。 纯虚数的一个重要性质是满足可加性。即纯虚数$x+iy$和$u+iv$的和为$(x+u)+(iy+iv)$。特别地，如果实部均为0，那么$x+iy+u+iv=i(y+v)$。因此，纯虚数满足可加性，可以相互加和变成一个数。 纯虚数具有可乘性性质。即将它们相乘，得到一个新的纯虚数，其实部为0。这种乘法性质可以用来处理复杂的乘法，例如，将乘法表达式$ax+by$和它的CONJUGATE（共轭复数）$ax-by$相乘，得到$(ax+by)(ax-by)=a^2x^2-b^2y^2$，因此可以更容易地解决此类问题。 此外，纯虚数也可以应用于三角函数的计算。直切线方程可以表示为$y=mx+-(\sqrt m^2+1)$，这是一个纯虚数方程，指出了一个可以与坐标原点重合的特殊点。而重要的三角函数可以用纯虚数方程表示，例如正弦函数$sin x = e^{inx}(e^{-inx}+e^{inx})$和余弦函数$cos x=e^{inx}(e^{-inx}-e^{inx})$，以及正切函数$tan x=e^{inx}(e^{-inx}-e^{inx})\over e^{-inx}+e^{inx}$，这些方程的解决与三角函数密切相关，因此纯虚数可以应用于三角函数的计算。 纯虚数还可以用于复数的指数求值。数学家们发现，复数的指数求值可以用以下几种方式实现：先将复数$z=(a+bi)$写成Polar（极坐标）形式$z=re^{i\theta}$，再利用上述纯虚数乘法性质，可以将复数$re^{i\theta}$分解成$r(cos \theta + isin \theta)$，即可以计算复数的指数求值。 可以看出，纯虚数在数学和工程中具有非常重要的作用。因此，我们应在学习数学过程中加以重视，以便从中获取更多的帮助。