内切球、外接球问题.docxVIP

处理球的“内切”“外接”问题 一、球与棱柱的组合体问题： 1 正方体的内切球： 设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。 截面图为正方形 EFGH 的内切圆，得 R ? a ； 2 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点， 2如图 4 作截面图，圆O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得 R ? 2 a 。 2 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 5，以对角面 AA 1 3作截面图得，圆O 为矩形 AA C C 的外接圆，易得 R ? A O ? a 。 3 1 1 1 2 在球面上 有 四个点 P 、 A 、B 、C . 如 图 3 图 4 果PA 、PB 、图 5 PC 两两互相垂直，且 PA ? PB ? PC ? a ,求这个球的表面积是 . 【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】 已知底面边长为a 正三棱柱 ABC ? A B C 的六个顶点在球O 上，又知球O 与此正 1 1 1 1 2 三棱柱的 5 个面都相切，求球O 1 与球O 2 的体积之比与表面积之比。 分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。 解：如图6，由题意得两球心O 、O 1 2 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA 和 1 3它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为 3 a ， 则 R 2 ? 6 a ， 正 三 棱 柱 的 高 为 h ? 2R ? a ，由 Rt?A D O 中，得 图 6 32 3 1 1 3 3?? 3 ? R 2 ? 3 ?2 a ? ? R 2 ? ?2 3?? 3 a ? 3 ? ? ?2 3?? 6 a ? 3 ? 5 5 ? 12 a 2 ，? R ? 12 a 1 ? ? 2 ? ? ? ? 1 ? S : S 1 2 ? R 2 1 : R 2 2 ? 5 : 1，V : V ? 5 : 1 51 2 5 二 棱锥的内切、外接球问题 4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过 点、线、面关系解之。 解：如图 1 所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点 O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为 R ． 3? ?2 3 在 Rt?BEO 中， BO 2 ? BE 2 ? EO 2 ， 即 R 2 ? ? 3 a ? r 2 ， 得 6R ? 4 a ，得 R ? 3r 6 ? ? 图 1 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合 的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 h 4 ( h 为正四面体的高)，且外 接球的半径 3h ，从而可以通过截面图中 Rt?OBE 建立棱长与半径之间的关系。 4 正三棱锥 S ? ABC ，底面边长为 3，侧棱长为 2，则其外接球和内切球的半径是多少 正四棱锥 S ? ABCD ，底面边长为 2，侧棱长为 3，则其外接球和内切球的半径是多少 练习： 21.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上， 2 则此球的表面积为 （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点 上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为 。 设P, A, B, C 是球O 面上的四点,且 PA, PB, PC 两两互相垂直,若 PA ? PB ? PC ? a , 则球心O 到截面 ABC 的距离是 . 4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥 S ? ABC 中，侧棱SC ? 侧面SAB ，侧棱SC ? 2 ， 则此正三棱锥的外接球的表面积为 5.（球内接棱柱问题） 若一个底面边长为 3362 3 3 6 都在一个平面上， 则此球的体积为 ． ，棱长为 的正六棱柱的所有顶点 6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱 的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的 6 个顶点),则此内 切球与外接球表面积之比为 。 7.（球内接正四棱锥问题）半径为 R 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥．则 四棱锥的体积为 ． 8.（正三棱锥球内切问题） 正三棱锥的高为3，底面边长为8 ，正三棱锥内有一 个球与其四个面相切．则球的表面积与体积分别为 ． 9. 三棱锥 A ? BCD 的两条棱 AB ? CD ? 6 ,其余各棱长均为5 ，求三棱锥的内切球半 径. 说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个