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§1.1 一个强有力的工具——矩阵第一章 矩阵XXXXXXX大学 数学科学学院 引例一：数字图像处理引例二：如何给商品定价引例三：人口迁移小结 我们日常生活当中所说的数字图像的分辨率，就是指单位英寸里面的像素数目，分辨率越高，体现的原图的细节就越多，保留的原图的信息也越多，当然也越费存储空间！常见的数字图片格式有黑白数字图片、灰度数字图片和彩色数字图片三种．1 引例一：数字图像处理你还在为网页卡顿生气吗？高清图片越多的网页似乎越卡，可怜的美图啊！ 计算机中使用所谓的数字图像的形式来存储图像信息．数字图像是把一张图片按纵横两个方向分别等分形成一些细小的矩形网格，每一个小矩形格子就称为一个像素． 黑白数字图片，就是在每一个像素处，使用黑和白两种颜色来反映这个像素的性质，如右图所示． 一般使用数字0表示白色，数字1表示黑色．如果我们把上图中的每一个像素都替换成相应的数字0或者1，那么就得到了右图中的一个矩形的数字阵列．黑白数字图片 对于每一个像素改用灰度来表示，此时使用计算机的一个字节(byte)来记录这个像素的性质，即使用0-255的数字来表示这个像素的灰暗程度，这就得到了所谓的灰度数字图片，如右图所示．灰度数字图片 如果使用三个字节一起来表示某个像素的颜色，即一个字节用来表示这个像素红色的程度，另一个字节用来表示这个像素绿色的程度，最后一个字节用来表示这个像素蓝色的程度，那么我们将得到彩色数字图片格式．彩色数字图片 一张彩色数字图片可以使用三个矩形的数字阵列来表示，这三个矩形的数字阵列分别表示每一个像素的红色程度、绿色程度和蓝色程度(每个数字都是0-255中的某个整数) ． 彩色图片虽然表现的图像信息比较详尽，但是每个像素都使用三个字节的话，所占用的存储空间通常会很大，所以一般计算机存储彩色数字图片时都不是逐个像素地存储．如何在不改变分辨率和视觉效果的情况下使用尽量小的空间来存储数字图片呢？ 我们将对这些图片所对应的矩形的数字阵列进行研究．事实上，在下一小节我们马上就可以使用矩形的数字阵列的运算来解决某一些情形的存储问题．图片对应的矩形的数字阵列如此炫酷，是时候给它们取一个专用的名字了． ? ? 2 引例二：如何给商品定价 在一个经济体系中，如何给每一种产品定价，使得该定价可以公平地体现它所标记的产品的价值呢？ 这是诺贝尔奖获得者——经济学家列昂惕夫（Leontief）思考的问题．我们将在后续的章节中完整回答这个问题．让我们先从一个最简单的经济模型开始吧． 假设在一个原始社会的部落中，人们从事三种行业：农业生产、食品加工、缝制衣物．最初，部落中是不存在货币制度的，所有的商品均进行实物交换． 假设农民将他们的收成平均分成三份，每一类成员得到1/3．食品加工者将1/6的产品给农民，1/3的产品留给自己，1/2的产品给制衣工人．制衣工人将1/2的衣物给农民，1/3的衣物给食品加工者，1/6的衣物留给自己． 在这个经济体系中，每个行业的产品在各个行业中的分配如下表所示． 我们将这个表格用一个3阶方阵形式地表示出来． 公平原则：如果没有资本的积累和债务，那么每一种产品的价格均可反映实物交换系统中该产品的价值，即每种行业消费的价值应该等于其生成的价值．问题：如何给三种产品定价，才能公平地体现当前的实物交换系统呢？?则有方程组 这个简单的经济体系是封闭型的列昂惕夫“生产——消费模型”的例子，这里的封闭是指该体系不与其他经济体系产生联系．后续我们将运用矩阵的初等变换求出该模型的通解，并且更进一步地针对封闭型模型与开放型模型做细致地讨论． 正如引例二所展示的那样，许多实际问题转化为数学模型的时候都将涉及所含未知量的项都是一次的方程组. ? 问题：一般的线性方程组(1.1.1)是否有解呢？ 有解时，有多少个解呢？ 如果解不止一个时，解集的结构又将如何？ 3 引例三：人口迁移? 假设一个大城市的总人口保持相对固定，初始时，30%的人生活在城市，70%的人生活在郊区．然而，每年有6%的人从城市搬到郊区，2%的人从郊区搬到城市．那么10年后城市和郊区生活的人口比例有什么变化呢？30年后呢？50年后呢？足够长的时间后又意味着什么？这个关系可以用方程组展示出来： ? ?? 引例三是一类被称为马尔可夫（Markov）过程的数学模型的一个例子．马尔可夫过程是一种很有效的简化模型的工具．如果某个过程下一刻的状态只和这一刻的状态有关，而和之前的状态没有关系，则称该过程具有马尔可夫性．例如，用户浏览网页时，除了起始网页