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高二数学对称问题会计学第1页/共17页一.中心对称(关于点的对称)(一）点关于点的对称 点P1(x1,y1)关于点M(m,n)对称的点P2为(2m-x1,2n-y1);特别地,P(x,y)关于原点(0,0)的对称点坐标为(-x,-y).练习:(1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点. (2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(-7,5).求M的坐标.第2页/共17页(二）直线关于点的对称 直线l:Ax+By+C=0关于点M(m,n)对称的直线l1的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0. 例1.求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线n的方程.解:(法一)直接代入上面结论 (法二)在直线m上任取两点A,B.则A,B关于点P的对称点落在直线n上. (法三)显然直线m和直线n是平行直线,因此斜率相等.一般地：曲线f（x，y）=0关于点M（m，n）的对称曲线方程为f（2m-x，2n-y）=0特别地曲线f（x，y）=0关于原点（0，0）的对称曲线方程为f（-x，-y）=0 .线段AB被直线l平分,即线段AB的中点 线段AB⊥l 即; =-1 ①在直线l上,故有 2 - -5=0 ②第3页/共17页二.轴对称(即关于直线的对称)(一)点关于直线的对称:例2.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.解(法一) 设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:联立①② 解得m=9 n= -7∴B(9,-7)∴直线AB的方程为y-1=- （x+7） 即x+2y+5=0由 解得第4页/共17页（法二）∵直线AB⊥l, 直线AB过点（-7，1）即AB的中点为（1，-3） ，又A（-7，1）由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.小结:求点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称点Q(x1,y1)的方法:(1)（综合求解）由点关于直线对称的定义及直线l垂直平分线段PQ得方程组:（3）（利用公式）点P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点Q的坐标为第5页/共17页由（1）（2）可解得x1,y1的值即对称点Q的坐标(2)（分步求解）可先求直线PQ的方程,然后解出直线PQ与直线l的交点即线段PQ的中点M的坐标,最后利用中点坐标公式,求出对称点Q的坐标.第6页/共17页一般地：1、点（x0，y0）关于直线y=x的对称点为（y0，x0）2、点（x0，y0）关于直线y=-x的对称点为（-y0，-x0）3、点（x0，y0）关于直线y=x+b的对称点为（y0-b，x0+b）4、点（x0，y0）关于直线y=-x+b的对称点为（b-y0，-x0+b）5、点（x0，y0）关于直线y=0（即x轴）的对称点为（ x0，-y0）6、点（x0，y0）关于直线x=0（即y轴）的对称点为（-x0，y0） 7、点（x0，y0）关于直线y=m的对称点为（x0，2m-y0）8、点（x0，y0）关于直线x=n的对称点为（2n-x0，y0） 注：当对称轴的斜率为±1或对称轴与坐标轴垂直时可用上述方法直接求出对称点的坐标。y在直线x-y-2=0上任取一点如A(2,0),则A关于直线l的对称点A1落 在直线n上,然后解出直线l和m的交点,由直线方程的两点式求出直线n的方程.lnmxo第7页/共17页（二）直线关于直线的对称例3.求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程.解: 第8页/共17页一般地：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为±1时可用以下结论直接代入；第9页/共17页常用结论:1. 直线关于原点的对称直线的方程为:2.直线关于x轴的对称直线的方程为:3.直线关于y轴的对称直线的方程为:4.直线关于直线y=x的对称直线的方程为:5.直线关于直线y= -x的对称直线的方程为第10页/共17页三.对称问题的应用：（一）涉及定直线l上一点P与两定点A，B的距离和（或差）的最值问题1.若A，B两点在直线的同侧：（1）设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小；（2）直线AB与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大。2.若A,B两点在直线的异侧:(1)直线AB与直线l的交点P使得|PA|+|PB|最小;(2)设点B关于直线的对称点为点C,则直线AC与直线l的交点P使得||PA|-|PB||最大.第11页/共17页 例5.已知两点A(2,15),B(-3,5)