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高级生物统计026会计学第1页/共112页 通径分析中的重要统计量就是通径系数。在统计学上，通径分析就是标准化变量的多元线性回归分析，通径系数就是标准化变量的偏回归系数，是一个没有单位的纯量，各自变量到依变量的通径系数反映了自变量对依变量直接作用的相对大小和性质。一、通径系数与决定系数第2页/共112页(一) 通径、相关线与通径图? 设有三个相关变量：y, x1, x2, 其中y—后果(依变量)；x1、x2—原因(自变量)。若x1、x2相互独立(r12=0)，可图示为 父本子代母本第3页/共112页例如，父、母无亲缘关系体长黄牛体重饲料胸围第4页/共112页若x1、x2彼此相关 (r12≠0)，可图示为例如第5页/共112页用 代替 ，改画为第6页/共112页 通径——箭形图中的单箭头“ ”，表示变量间 呈因果关系，方向由原因到结果。 相关线——箭形图中的双箭头“ ”，表示变 量间呈平行关系。 一条相关线相当 于两条尾端相联的通径。 通径图——表示相关变量间呈因果关系或平行 关系的箭形图。第7页/共112页(二) 通径系数与决定系数 通过作通径图，形象直观地表达了相关变量间的关系，但这是定性地表达。仅定性表达还不够，还须进一步用数量表示因果关系中原因对结果影响的相对重要程度与性质，平行关系中变量间相关的相对重要程度与性质。换句话说还须用数量表示“通径”与“相关线”的相对重要程度和性质，也就是将“通径”、“相关线”、“通径图”数量化。 第8页/共112页 表示“通径”相对重要程度和性质的数量叫通径系数。 表示“相关线”相对重要程度和性质的数量叫相关系数。 生物统计学已给出了计算相关系数的方法，即：若二相关变量x1、x2有n组观测值，则x1与x2的相关系数r12的计算公式为： 第9页/共112页下面给出通径系数的确切定义与数学表达式设 y 与x1、x2间存在线性关系回归方程或?其中?表示这三个相关变量间关系的通径图 (见图2-1)第10页/共112页图2－1第11页/共112页 现将y, x1, x2, e用标准差标准化，变为不带单位的相对数，再研究标准化变量的线性关系。第12页/共112页 由(2-1)式得 (2-2)(2-1)式- (2-2)式 (2-3) (2-3)式÷σ0 ：?记第13页/共112页 yˊ、x1ˊ、x2ˊ、eˊ为y、x1、x2、x3、e的标准化 得 或第14页/共112页 、 是变量标准化的偏回归系数，分别表示x1、x2对y影响的相对重要程度和性质； 表示误差 e 对 y 影响的相对重要程度和性质，分别称为 x1、x2、e到 y 的通径系数。第15页/共112页定义若相关变量y、x1、x2间存在线性关系回归方程式为：或第16页/共112页 则变量标准化后的各偏回归系数 分别称为原因x1、x2到结果 y 的通径系数，记为P、P0.2 ； 称为误差项 e 到结果 y 的通径系数，记为P，即第17页/共112页 通径系数的平方称为决定系数，表示原因(自变量或误差)对结果(依变量)的相对决定程度，记为d, d, d0.e,即第18页/共112页若, 即 b0= 0, b1= b2 = 1则 第19页/共112页定义的推广：若=b0+b1x1+b2x2+b3x3或y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+erij≠0，通径图如(图2-2)所示 第20页/共112页图2-2第21页/共112页则二、通径系数与相关系数的关系 第22页/共112页对于 第23页/共112页 表明，在直线回归分析中，x1到y的通径系数P在数量上等于x1与y的相关系数r10。但二者是有实质区别的，因为通径系数表达的是因果关系，而相关系数表达的是平行关系。 在一定条件下，这个结论对于多元线性回归分析也成立。小结第24页/共112页 通径系数是表示相关变量间因果关系的一个统计量；通径系数是标准化变量的偏回归系数，是没有单位的偏回归系数；在一定条件下，通径系数是自变量与依变量之间的相关系数；就通径系数所表示的因果关系来说，具有回归系数的性质；就通径系数是不带有单位的相对数来说，又具有相关系数的性质。? 所以可以说通径系数是兼有回归系数与相关系数性质的一个统计量。第25页/共112页二、通径系数的性质定理1 若 或且r12≠0，通径图如图/图2-3.ppt图图/图2-3.ppt2-3所示。则 (一) (二)第26页/共112页证明(一)，求和，再除以(n-1)： 证明(一)第27页/共112页 ∵ x1与e无关，Cov(x1, e)=0 ∴ r10=P+r12P 证毕。 第28页/