数学公式手册3---高数B.docxVIP

十二、偏导数与全微分 1．偏导数 设在的某邻域内有定义，若极限存在，则称该极限为在处对的偏导数，记为，即 同理， 2．全微分 设函数在点的某邻域内有定义，分别给以增量，相应地得到函数的全增量，若其可表示为 其中与无关，为时，的高阶无穷小，则称函数在处可微．称为在处的全微分． 当在点处可微，则，． 验证二元函数函数的可微性，只需验证： ， 其中. 3．二阶混合偏导与次序无关定理 设具有二阶连续偏导数，则. 4．可微与偏导存在的关系 　 若在点点处可微，则必存在，且有，反之偏导存在不一定可微. 若的两个偏导数在点的某邻域内存在，且偏导数在点处连续．则在点处可微． 5．复合函数求导法则 （1）设，则 （2）设，则． （3）设，则 6．隐函数求导公式 （1）隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，若，则方程在点的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,它满足条件，并有. （2）隐函数存在定理2 设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，若，则方程在点的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件，并有. （3）设由方程组 确定的隐函数为，则可通过解关于的线性方程组得到. 十三、偏导数的应用 1．多元函数的极值 设函数在点的某邻域内有定义，若对于该邻域内异于点的任一点恒有：（或）则称为的极小值（或极大值）． 2．极值的必要条件 设在点的一阶偏导数存在，且是的极值点，则 3．函数取极值的充分条件 设在点的某邻域内有连续的二阶偏导数，且 （1）若，则是的一个极值点，且当时，为极小值点；当时，为极大值点. （2）若，则不是的极值点. （3）若，则无法判定是否为极值点，此时应考虑利用极值点的定义进行判断. 4．二元函数极值解题步骤 （1）无条件极值 ①求出的驻点； ②用充分条件判别是否为极值点，若是，则为的极值． （2）条件极值（拉格朗日乘数法） 求在条件下的极值： eq \o\ac(○,1) 令； eq \o\ac(○,2) 解方程组求得驻点； eq \o\ac(○,3) 即为的可能的极值点． 求在条件下的极值： eq \o\ac(○,1) 令； eq \o\ac(○,2) 解方程组 eq \o\ac(○,3)若为其解，即为可能的极值． 求函数在条件下的极值： eq \o\ac(○,1) 令 eq \o\ac(○,2) 与前面第 eq \o\ac(○,2)步类似． 5．空间曲线的切线及法平面方程（数一） （1）空间曲线的参数方程为则曲线在点（对应参数）处的 切线方程为： 法平面方程为： （2）空间曲线的一般式方程为则在曲线上点处的切向量为曲面和在该点的法向量和的向量积，即切向量，其中 记则 点处的切线方程为： 点处的法平面方程为： 6．空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程（数一） （1）设曲面的方程为，则在上的点处的 切平面方程：． 法线方程： （2）设曲面的方程为，则在上一点处的 切平面方程： 法线方程： 7．方向导数与梯度（数一） （1）方向导数的定义 为平面上以点为起点, 为方向向量的射线，将限制在上，则若 存在，则称之为函数在点沿射线方向的方向导数，记为 （2）方向导数的计算 如果函数在点可微，那么函数在该点沿任何方向的方向导数存在，且有 , 其中是方向的方向余弦. 对于三元函数有类似的定义.如果在点处可微，则函数在该点沿方向的方向导数为 （3）梯度 设在平面区域内具有一阶连续偏导数，对于每一点，向量称为在点处的梯度，记为 ，即 对于具有连续偏导数的三元函数,在其定义区域内的每一点，其梯度向量为 十四、二重积分的性质 （1）为常数. （2） （3），其中为曲线. （4），其中为的面积． （5）比较定理：若在上恒有，则 （6）估值定理：设分别为在闭区域上的最大、最小值，为的面积，则 （7）中值定理：若在闭区域上连续，为的面积，则在上至少存在一点，使得 （8）二重积分的化简 = 1 \* GB3 ① 如果积分区域关于轴对称，则二重积分 其中，为在的部分． = 2 \* GB3 ② 如果积分区域关于轴对称，则二重积分 其中，为在的部分． = 3 \* GB3 ③ 如果关于直线对称，则 十五、三重积分的性质（数一） （1）为常数. （2）. （3）， 其中，不能形成空间闭区域. （4）为的体积． （5）比较定理：若在上恒有，则 （6）估值定理：设分别为在上的最大、最小值，为的体积，则 （7）中值定理：若在上连续，为的体积，则在上至少存在一点，使得 （8）三重积分的