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第一章 导数 知识体系： 章节概述： 在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，各自独立的创立了微积分。微积分的创立与处理四类问题直接相关，一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度和路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值和最小值；四是求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等函数应用问题的最一般、最有效的工具。与导数相比，定积分的起要早得多，它的思想萌芽甚至可以追溯到两千多年前，自然和生产实践中的很多问题，如一般平面图形的面积、变速直线运动的路程、变力所作的功等都可以归结为定积分的问题。 知识清单： 导数及其应用 一、变化率和导数 1.平均变化率 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到，这时，的变化量为，的变化量为，我们把比值，即叫做函数从变化到的平均变化率。 2.导数（瞬时变化率） 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即。 3.导数的几何意义与切线 (1)导数的几何意义：函数在处的导数是函数在该点处的切线的斜率，即。 (2)切线问题的类型与解 ①过函数上某点的切线方程 ②过函数外一点作函数的切线 设该切线与函数相切的切点为， 则切线方程为，……………………………（*） 该切线经过点，故 解方程算出的值，代回（*）式即可 ③求函数和函数的公切线 设公切线与的切点横坐标为，则切线方程 公切线与的切点横坐标为，则切线方程， 两条切线方程应相同，即斜率和截距均相等，，解方程算出，的值即可 5.导函数（导数）的概念 当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数），的导函数有时也记作，。 二、导数的计算 1.基本初等函数的导数 (1)若（为常数），则； (2)若（，且），则； (3)若，则； (4)若，则； (5)若（，且），则，特别地，若，则； (6)若（，且），则， 特别地，若，则。 2.导数的四则运算法则 一般地，对于两个函数和，我们有如下法则： (1)； (2)； (3)， 特别地，若为常数，则。 3.复合函数的导数 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为。 三、导数在研究函数中的应用 1.函数单调性和导数的关系 一般地，函数的单调性和导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减。 2.极值点和极值 如果函数在附近的左侧，且在附近的右侧，则称为函数的极小值点，叫做函数的极小值； 如果函数在附近的左侧，且在附近的右侧，则称为函数的极大值点，叫做函数的极大值。 3.最大值和最小值 函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，比较所有极值和端点的函数值，其中最大的为函数的最大值，最小的为函数的最小值。 四、定积分的概念和性质 1.定积分的概念 如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，其中与叫做积分下限和积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式。 2.定积分的几何意义 如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积。 3.定积分的性质 ①（为常数）； ②； ③（其中）。 五、微积分基本定理 如果是区间上的连续函数，并且，那么。 专属练习： 1．求下列函数的导数 （1）；（2）；（3）；（4） 2．若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标为_________。 3．若存在过点的直线与曲线和都相切，则_________。 4．已知，则函数的单调递减区间为_________。 5．若函数在内单调递增，则实数的取值范围是_________。 6．已知，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．若函数在处有极大值，则常数为_________。 8．已知为自然对数的底数，函数的图象恒在直线下方，则实数的取值范围是_________。 9．已知与的图象有两个交点，则实数的取值范围是_________。 10．已知函数在处取得极小值，在处取得极大值，且，则的取值范围是_________。 11．定积分_________。 12．若，则_________。 第二章 计数原理 知识体系： 章节概述： 在日常生活、生产过程中会遇到非常多的计数问题，除了列举所有可能性的方法之外，还可以利用一些技巧。本章通过对加法和乘法的推广引出两个最基本、最重要的计数方法——分类加法计数原理和分步乘法计数