水文学课件-回归分析.pptVIP

由于 则记 ：回归平方和 残差平方和或剩余平方和 于是，可将下式 简化为 由 可知，要判断x和y之间是否存在线性相关关系，可以把S回和S剩进行比较，如果在S总中S回所占的比重大，则S剩所占的比重就小，这说明x对y的线性影响较大。从而可以认为x和y之间存在线性相关关系。 如果 x和 y 之间不符合线性回归数学模型 ，那么一次项系数 所以，检验两个变量 x 和 y 是否具有相关 关系，事实上为检验下列假设： 。 根据F分布的定义可知，在 成立时 根据给定的显著性水平 ,查表求得满足关系式 的临界值 ，如果由样本求得的 F值大于 ，则否定原假设 ，即认为x和 y之间有线性相关关系，或称回归方程显著 ，反之不显著，表示该回归方程没有意义。这种用 F 检验对回归方程进行显著性检验的方法也称为方差分析。 显然上式中的分母 就是 的无偏估计量。 在检验中，为方便计算，S回与S剩常用下来公式计算 其中 预报及其误差分析 回归方程通过检验，如果是显著的，则可以利用它进行预报和插补。即对于给定的x0，以 作为真值 的预报值或插补值。 例：用上例中建立的回归方程 插补兴华站1996年～1999年4年缺测的年降雨量。 解：按将已知的x值代入上述回归方程 或直接从图上可插补出兴华站缺测年份 的年降雨 量。结果如下表： 兴华站年降雨量插补值表 单位：mm 瓦庙站 兴华站 兴华站实际 年降雨量 年份 1996 974.5 882.9 900.9 1997 439.2 411.8 380.9 1998 735.2 672.3 714.3 1999 630.4 580.1 618.1 由上表可以看出，插补出的兴华站年降雨量 与其真值 是有误差的，该误差可以看作是由其他随机因素综合作用的结果。 下面讨论以 估计真值 的误差。记 考虑到 与 相互独立，则 整理后可得: 以 的无偏估计量 代替上式中的 可得用 估计 的均方误差为： 还可以证明，统计量 于是，可以利用t分布求得y0的置信区间，当n较大时，且x0较接近均值时，可近似表示为 其中： ，又因为n较大时，自由度为 n－2的t分布接近N（0，1），所以 也可用正态分布表近似求得。 例：在上例中，给定 ＝0.05， ＝974.5， 求y0的预测区间。 解： 所以置信度为0.95的y0的预测区间为 §9－3 多元线性回归 多元回归的数学模型 在实际问题中，和因变量相关的往往不只是一个自变量 ，而可能有多个自变量 ，此时因变 量与自变量的定量关系就是多元回归问题 ，与一元回归一样，多元回归中最简单而又最常用的多元线性回归问题。 多元线性回归的数学模型如下： 将y和x1，x2，…,xm的n组观测值 代入 可得 记： 记： 则有： 多元线性回归的回归方程式如下： 回归系数的最小二乘估计 设 为因变量与自变量的n组观测值，若以 表示 的估计值，则观测值yi可表示为 这里 使得 故得： 根据高等数学中求极值的原理，使Q剩达极小值的b0，b1,…,bm应满足方程组： 将 代入上式， 即得正规方程组。 正规方程组形式如下： 其中b0，b1,…，bm为未知量 ，其他量都可由实测样本算出。 记： 回 归分 析 §9－1 基 本 概 念 变量间的关系 自然界中的许多变量，它们之间的关系可概括为三种类型。 第一种类型是确定性关系，即一个变量的值完全由另一个或另几个变量的值所确定，这种关系可以用函数式来表述。 例如：自由落体运动中，物体下落的距离S与下落时间