水文学课件-多元随机变量及其分布.pptVIP

例：掷一枚硬币和一颗骰子，以X表示硬币出现正面的次数，以Y表示骰子出现的点数，则（ X ,Y ）的联合概率函数为？ 解： 连续型随机变量的独立性 对于二元连续型随机变量(X,Y)，设其联合分布密度为f(x,y),X与Y相互独立的充要条件： 充分性：设 f (xy)=f X(x)fY(y),则 必要性：设F（x,y）=FX (x)FY (y)，则 不难验证 若X与Y相互独立，则对任意实数a b，c d有 设随机变量(X,Y)的联合密度为 解： n元随机变量的独立性 如果F( X1 , X2 , … , Xn) = ＦX1(x1)FX2(x2)…FXn(xn) ，则X1 , X2 , … , Xn相互独立。 ( X1 , X2 , … , Xn)是n元离散型随机变量，等价于 P ( X1 = x1, X2 = x2, … , Xn = xn) = P ( X1 = x1 ) P ( X2 = x2 ) … P ( Xn = xn ) ( X1 , X2 , … , Xn)是n元连续型随机变量，等价于 f (x1， x2 ，…， xn ) = f X1 (x1) f X2 (x2) …f Xn (xn) 两个概念 设FX1 (x1) FX2 (x2) …FXn (xn)是随机变量X1 ,X2 , … , Xn的分布函数，若对任意实数x，有 FX1 (x1)= FX2 (x2)=… =FXn (xn)= F(x) 则称X1 ,X2 , … , Xn是同分布的随机变量。 若X1 ,X2 , … , Xn还是相互独立的，则称他们是独 立同分布的。此时 设( X1 , X2 , … , Xn)是n元随机变量，若对任意实数x , y，有F(Xi x , Xj y)=FXi(x)FXj(y) i≠j 则称X1 , X2 , … , Xn是两两独立的。 特别说明 若n个随机变量X1 ,X2 , … , Xn相互独立，则其中任意m(n)个随机变量也是相互独立的。 证明：对前m个随机变量X1 ,X2 , … , Xm进行证明。 X1 ,X2 , … , Xn相互独立 两两独立 两两独立 X1 ,X2 , … , Xn相互独立 若X1，X2，…Xn为n个相互独立的随机变量，Y1=g1(X1),Y2=g2(X2) , … , Yn =gn(Xn)是n个单值连续函数，则Y1 ,Y2 , … , Yn也相互独立。 于是， 记Di={xi; gi (xi) yi},则事件{gi(xi)yi}等价于事件{Xi∈Di},i=1,2,…,n. §3－5 多元随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布 设随机变量X与Y相互独立，它们的分布列为 Z -1 0 1 2 Pi X -1 0 1 Pi Y 0 1 Pi 求Z=X +Y的分布列 连续型随机变量函数的分布 和的分布 差的分布 积的分布 商的分布 和 的 分 布 设二元随机变量(X,Y)的联合密度是f(x,y)，求Z=X+Y的分布密度。 先求Z=X+Y的分布函数 例：设X与Y是两个相互独立的随机变量，它们都具有标准化正态分布，即 求Z＝X＋Y的概率密度。 解： 即Z具有N(0,2)分布。 差 的 分 布 设二元随机变量（X，Y）的联合密 ， 求Z=X-Y的分布密度。 先求Z=X-Y的分布函数 所以， 其中， 于是 例：设随机变量（X,Y）具有密度函数 试求Z=X-Y的分布函数和分布密度。 解：如图所示，（X,Y）的联合密度 在图中△OAB内有非零值。 先求分布函数 积 的 分 布 设二元随机变量（X，Y）的联合密度是 ， 求Z=XY的分布密度。 解：先求Z=XY的分布函数 当 ， 所以 当z0时，同理可得上式。 例：设二元随机变量(X,Y)的联合密