极化恒等式从入门到精通（含答案解析）.docxVIP

极化恒等式从入门到精通 一、初识极化恒等式我们知道，对于任意a, beR,恒有 (a + b)2 =a2+2ab + b2\a-b)2 =a2-2ab + b2 9将实数中的结论类比到平面向量中，有类似结论： (a + b)2 =a2+b2 + 2a-b 9 ①(G_BY =a2 +b2-2a-b .② i r_将两式相减可得a-b=^a + b)2-^-b)2\,这个等式在数学上我们称为极化恒 等式. 极化恒等式说明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长 度之间的等量关系. 平面向量是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合的完美典范.对于极化恒等式，可 以借助图形给出它的两个几何意义. 几何解释1 (平行四边形模型)以A5, 4。为一组邻边构造平行四边形A3C。，AB = a.AD = b^ 那么恁=M +反而=6—万，由(a + b)2-(a-b)2 ,得 4L」 AB AD = ^AC2-BD2).即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的I”. 4 几何解释2 (三角形模型)在平行四边形模型结论的基础上，假设设M为对角线的交 点，那么由赤?而= ；(AC2 —变形为AB Ab = ^AC2-BD2^ = ^AM2-4BM2),得丽.诟=AM? _区“，该等式 即是极化恒等式在三角形中的表达，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型. 条件可以推理，对学生往往会造成困惑，突破的关键是“化一般为特殊，破极限之 惑”，要注意从极限位置入手，理解极限时的特殊状态，问题的化解会有意想不到 的效果. 四、专题强化训练.设向量。3满足a + B =, a-b =屈,那么= A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】 因为|万+画2=（方+ 5）2=7+7+2￡4 = 10 ， I值一的2=（万一5）2 = a2+b2-2a-b=6,两式相加得：a2+b2 =8，所以小5 = 1，应选A. 考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基 础知识与基此题型是解答好本类题目的关键. .设△ABC,但凡边A3上一定点，满足=,且对于边AB上任一点P,恒有方/万?其那么（） C. AB = ACD. C. AB = AC D. AC = BC 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点。，由极化恒等式可得丽,无=m一步， 庭.京=而_奇,从而可得\pd\ |^|,即可得出EQLAB,由= 得出答案. 【详解】如图，取的中点D 由极化恒等式可得：方.定=加-正， 同理，布?隹=另加一审，由于丽?元之府?隹，贝“丽,|然|,所以后D_LAB, 因为凡B =。是3C的中点，于是AC = 3C. 4应选：D. TOC \o 1-5 \h \z 22.假设点。和点F分别为椭圆土 +匕=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意 3一点，那么无.乔的最大值为 A. 2B. 3C. 6D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆方程得尸（一1,0）,设P（%（）,泗），那么 OP FP =（xo, /）?（%（）+1, yo） = %（： +%（）+ y02 TOC \o 1-5 \h \z 22???P为椭圆上一点，???二+工=1. 43丫 221 *e? OP- FP = I。？ +xo+3 (1 ——) =+xo+3= — (xo+2)2+2. 444 *.? -2xo2. ???丽?丽的最大值在xo=2时取得，且最大值等于6. .心5是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量3满足的最大值是 的最大值是 的最大值是A. 1 的最大值是 【答案】C 【解析】 B.2C.近D.立2【详解】试题分析：由于￡石垂直，不妨设1 =（L0）,各= （OJ），￡ = （%了），那么a-c = (x—l,y) , B.2 C.近D.立 2 也为半径的圆，因此2故答|一￡）-￡）=，+/-”一了 = 0，1c =』￡ +/表示（三力到原点（0。）的距离,案为C. 也为半径的圆，因此 2 故答 考点：平面向量数量积的运算. 询视频「.△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，那么加?（加+ 1） TOC \o 1-5 \h \z 的最小值是（）■3〃4 A. —2B. —C. -D. —123 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式 进行计算即可. 【详解】建立如下图的坐标系，以BC1中点为坐标原点，那么 A（0,百），5（-1,0）, C（l,0）, 设尸@y),那么而= (r,g — y),而= (_1_%,_y),正=(]一％,—),贝lj PA?(PB + PC) = 2x2 -2岛 + 2y