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反证法证明题 例 1. 已知?A ， ?B ， ?C 为?ABC 内角. 求证： ?A ， ?B ， ?C 中至少有一个不小于 60o. 证明：假设?ABC 的三个内角?A ， ?B ， ?C 都小于 60o， 即?A ? 60o， ?B ? 60o， ?C ? 60o， 所以?A ? ?B ? ?C ? 180O ， 与三角形内角和等于 180o 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例 2. 已知a ? 0 ，证明x 的方程ax ? b 有且只有一个根. b 证明：由于a ? 0 ，因此方程ax ? b 至少有一个根 x ? a . 假设方程ax ? b 至少存在两个根， 不妨设两根分别为 x , x 且 x ? x ， 则 ax 1  ? b, ax 2 1 2 1 2 ? b ， 所以ax 1 ? ax ， 2 所以a(x 1 ? x ) ? 0 . 2 因为 x 1 ? x ，所以 x ? x 2 1 2 ? 0 ， 所以a ? 0 ，与已知a ? 0 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例 3. 已知a3 ? b3 ? 2, 求证a ? b ? 2 . 证明：假设a ? b ? 2 ，则有a ? 2 ? b ， 所以a3 ? (2 ? b)3 即 a3 ? 8 ?12b ? 6b2 ? b3 ， 所以a3 ? 8 ?12b ? 6b2 ? b3 ? 6(b ?1)2 ? 2 . 因为6(b ?1)2 ? 2 ? 2 所以a3 ? b3 ? 2 ，与已知a3 ? b3 ? 2 矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立. 例 4. 设?a ?是公比为的等比数列， S 为它的前n 项和. n n 求证：?S ?不是等比数列. n 证明：假设是?S n ?等比数列，则S 2 2 ? S ? S ， 1 3 即a2 (1? q)2 1 ? a ? a 1 1 (1? q ? q2 ) . 因为等比数列a 1 ? 0 ， 所以(1? q)2 ? 1 ? q ? q2 即 q ? 0 ，与等比数列q ? 0 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例 5. 证明 2 是无理数. 证明：假设 2 是有理数，则存在互为质数的整数m，n 使得 2 ? m . n 所以m ? 2n 即 m2 ? 2n2 ， 所以m2 为偶数，所以m 为偶数. 所以设m ? 2k (k ? N * ) ， 从而有4k 2 ? 2n2 即n2 ? 2k 2 . 所以n2 也为偶数，所以n 为偶数. 与m，n 互为质数矛盾. 所以假设不成立，所求证 2 是无理数成立. 例 6. 已知直线a, b 和平面，如果a ? ?, b ? ? ，且a / /b ，求证a / /? 。证明：因为a / /b , 所以经过直线a , b 确定一个平面? 。 因为a ? ? ，而a ? ? ， 所以 ? 与? 是两个不同的平面． 因为b ? ? ，且b ? ? ， 所以? I ? ? b . 下面用反证法证明直线a 与平面? 没有公共点．假设直线a 与平面? 有公共点 P ，则 P ?? I ? ? b ， 即点 P 是直线 a 与 b 的公共点， 这与a / /b 矛盾．所以 a / /? . 例 7．已知 0 a, b, c 2，求证：(2 a)c， (2 b)a，(2 c)b 不可能同时大于1 证明：假设(2 a)c， (2 b)a，(2 c)b 都大于 1， 即 (2 a)c1, (2 b)a1, (2 c)b1， 则(2 a)c(2 b)a(2 c)b1 …① 又因为设 0 a, b, c 2，(2 a) a? 同理 (2 b) b≤1, (2 c) c≤1, (2 ? a) ? a ? 1, 2 所以(2 a)c(2 b)a (2 c)b≤1 此与①矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立. 1 ? y 1 ? x 例 8．若x, y 0，且x + y 2，则 和 中至少有一个小于 2 x y 证明：假设 1 ? y x 1 ? x ≥2， ≥2， y 因为x, y 0，所以1? y ? 2x,1 ? x ? 2 y ， 可得 x + y ≤2 与x + y 2 矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立. 1 例 9．设 0 a, b, c 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于 4 1 1 1 证明：假设设(1 b , (1 b)c , (1 c)a , 4 4 4 1 则三式相乘：ab (1 a)b?(1 b)c?(1 c)a ① 64 a b c 0 ? (1 ? a)a ? ?(1 ? a) ? a ? 2 ? 1 又∵0 ,