高中数学_立体几何中的向量方法教学设计学情分析教材分析课后反思.docxVIP

§ 3.2 立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题 教学目标 使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 . 教学重点 1、求解线线角、线面角、二面角的向量方法 2、建立合理的坐标系 教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程 一、知识储备（课前已让学生完成） 1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为向量问题） 2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） 3）把向量的运算结果 “翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2．向量的有关知识： （ 1）两向量数量积的定义： a b | a || b | cos a, b cos a b a, b （ 2）两向量夹角公式： | a || b | a （ 3）平面的法向量：与平面垂直的向量 O 二、复习引入 b 让学生回忆空间中的角。（目的：整体上把控今天的纲要内容， 同时让学生明白本节课空间向量是解决角的问题的新方法） 三、知识讲解与典例分析 知识点 1：异面直线所成的角 （范围： (0, ] ）（提问） 2 （1）定义：过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a ′与b′，那么直线 a′与b′所成的锐角或直角， 叫做异面直线 a 与 b 所 成的角 . （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线 a、b 的方向向量分别为 a 和 b ，（小组讨论）问题 1： 当 a 与 b 的夹角不大于 90°时，异面直线 a、b 所成的角 与 a 和 b 的夹角的关系？ a O a, b b 问题 2 ： a 与 b 的夹角大于 90°时，，异面直线 a、b 所成的角 与 a 和 b 的夹角的关系？ b a, b a O 结论：异面直线 a、b 所成的角的余弦值为 知识点 2、直线与平面所成的角 （范围： [0, ] ）（提问） 2 在课件上优先把例 1 拿出来让学生思考如何用传统方法找到线面角， 然后再让学生共同探讨向量的方法 （目的：通过传统方法和向量法进行对比， 让学生深刻感受到向量法 的美好用处。） 思考：设平面 的法向量为 n ，则 n, BA 与 的关系？ （小组讨论） A n A A （图 1） （图 2） B O B O B O n n, BA n, BA 2 2 据图分析可得： 结论： sin | cos n, AB | 分析：（说明；给出板演过程，强调细节） 直线与平面所成的角步骤： 求出平面的法向量 求出直线的方向向量 求以上两个向量的夹角， ( 锐角 ) 其余角为所求角 （学生上黑板，两个学生上黑板，用不 同的坐标系来解决此问题，目的让学生 体会如何选择合理的坐标系） 知识点 3：二面角 （范围： [ 0, ] ）（提问） （小组讨论） ①方向向量法： 将二面角转化为二面角的 两个面 的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面 角 l 的大小为 ，其中 AB l, AB , CD l,CD . ②法向量法 结论： cos cos n1 , n2 或 cos cos n1 , n2 归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进 同出，二面角等于法向量夹角的补角 . 例3、如图， ABCD是一直角梯形， ABC 90 ， SA 面 ABCD， SA AB BC 1， AD 1 ，求面 SCD 与面 SBA所成二面角的余弦值 . 2 （给出详细的板演过程，规范答题步骤） 解：  z S B C A y x 又 n1 方向朝面内， n2 方向朝面外，属于 “一进一出 ”的情况，二面角等于法向量夹角 即所求二面角的余弦值为 6 . 3 练习：正方体 ABCD A1B1 C1 D1 的棱长为 1，点 E 、F 分别为 CD 、DD 1 的 中点 . 求二面角 F AE D 的余弦值。 余弦值为 2 3 四、课堂小结 1．用向量来求空间角， 都需将各类角转化成对应向量的夹角来计算， 1）．异面直线所成的角： cos | cos a, b | 2）．直线和平面所成的角： sin | cos AB, n | （3）．二面角： cos cos n1 , n2 或 cos cos n1 , n2 问题的关 键在于确定对应线段的向量． 2．合理建立空间直角坐标系 一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的 三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系； 如果不存在