高二数学典型例题分析：不等式证明的常用技巧.docxVIP

高考资源网（）您身边的高考专家 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有@ 版权所有@高考资源网 - PAGE 1 - 不 等 式 证 明的常用技巧·例题 例 5-2-13 求证： (2)若 a＞b＞c＞0，d＞c，ac＞bd，则 a+c＞b+d。解 (1)因 x+y+z=1，故可设 其中 t +t +t =0，于是 1 2 3 1212(2)因 a＞b，d＞c，故可设 a=b+t ，d=c+t ，其中 t 1 2 1 2 ∴(a+c)-(b+d)=(a-b)-(d-c)=t -t ＞0 1 2 ∴a+c＞b+d 注 ①用 n 个数的平均数与适当参数来表示这n 个数的代换通常称为均值代换，如(1)中施行的代换。这种代换的特点是利用对称性可使运 数组，不能保证由上述代换而得到。如 x=y=0，z=1 就不存在对应的 t 值。 ②当 a＞b 时，令 a=b+t(t＞0)，其中 t 是 a 用 b 表示时引进的增量。这种代换通常称为增量代换。它的特点是把条件中的不等关系转化为相等系，使得变形过程简化。 例 5-2-14 求证： 解 (1)由 a＞0，b＞0，a+2b=1，可设 则有 (2)因 a＞b＞0，且(a-b)+b=a，故可设 这时，原不等式等价于 故只须证明 这个不等式显然成立。事实上，因为 0＜cosθ ＜1，0＜sinθ ＜1 又 故原不等式得证。 注 代数问题三角化，往往可充分利用三角函数的特有性质，使较为复杂的问题得以简化，从而获得简捷解法。 例 5-2-15 求 证 ： (1)|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则 abc+2＞a+b+c； (2)a ，b ∈R(i=1，2，3)，且 a ≠0，则 i i i (a b +a b +a b )2≤(a 2+a 2+a 2+)(b 2+b 2+b 2) 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 当且仅当 b =λ a 时取等号。 i i 解 (1)原不等式等价于(bc-1)a+(2-b-c)＞0 构造一次函数 f(x)=(bc-1)x+(2-b-c) (-1＜x＜1) 则 f(-1)=(1-bc)+(1-b)+(1-c)＞0 f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)＞0 于是，根据一次函数的单调性，f(x)在区间[-1，1]上恒大于 0。而 a∈(-1， 1)，故 f(a)＞0，即(bc-1)a-b-c+2＞0。所以abc+2＞a+b+c (2)构造二次函数 f(x)=(a x+b )2+(a x+b )2+(a x+b )2 1 1 2 2 3 3 (当且仅当 b =λ a ，λ ∈R 时取等号) i i 所以 注 函数思想是解决数学问题的重要思想，应用广泛。在不等式证明中，若能要据其结构特征，构造相应的函数，则可充分利用函数的性质，使问题简明。 (2)中不等式及其证明可推广到一般情形：若 a ，b ∈R(i∈1，2，…n)，且 a ≠0，则 (a b +…+a b )2≤(a 2+…+a 2)·(b 2+…+b 2) i i i 1 1 n n 1 n 1 n 这就是著名的柯西不等式。柯西不等式不仅应用广泛，而且它的证明方法， 即构造二次函数并通过其判别式证明不等式的方法，堪称构造法的典范。 解 [法一] 由 x+y=1，可令 则原不等式 =5+2(tg2θ +ctg2θ )≥5+2×2=9 又 x+y=1，根据韦达定理，x，y 是关于 t 的二次方程 的实根。因 x，y 为实数，故 注 方法 2 通过构造方程证明不等式，足以表明方程与不等式的密切联系。此法也不失为一种巧妙方法。 例 5-2-17 设 n∈N，求证： 解 (1)采取逐项放缩的方法。由于 令 1，2，…，n，则有 …………………… 依项相加，即得 (2)设 并引进辅助式 比较两式的对应因式可知 注 用放缩法证不等式，常通过拆项、分组、加强命题等方式进行。此法没有固定模式，关键在于放缩要适度。放得过宽或缩得太小，都会导致方法失效。 例 5-2-18 已知 a＞0，b＞0，且 a+b=1，求证： 当且仅当 a=b 时右边取等号。解 先证右边不等式。 则 4a+1=(k+t)2，4b+1=(k-t)2 所以(4a+1)+(4b+1)=(k+t)2+(k-t)2≥2k2 [法二] 用三角代换。因(4a+1)(4b+1)=6，故可设 现在证明左边不等式。可考虑用放缩法。 为了将 4a+1 或 4b+1 通过放缩配成完全平方式，我们引进正数 k， 因为 0＜a＜1，所以 a2＜a，于是