微分中值定理及其应用技术.pdfVIP

3.2 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根 据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点 ： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性； 难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数 ：2 学时 一、 微分中值定理 : 1. Rolle 中值定理: 设函数 在区间 上连续,在 内可导,且有 .则 (a,b)，使得 f ( ) 0 . 2. Lagrange中值定理: 设函数 在区间 上连续,在 内可导, f (b) f (a) 则 (a,b)，使得 f ( ) . b a 推论 1 函数 在区间 I 上可导且 为 I 上的常值函 数. 1 / 8 推论 2 函数 和 在区间 I 上可导且 推论 3 设函数 在点 的某右邻域 上连续,在 内可导. 若 存在,则右导数 也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有 不存在. 例如对函数 虽然 不存在,但 却在点 可导 (可用定义求得 ). Th ( 导数极限定理 ) 设函数 在点 的某邻域 内连续,在 内可导. 若极限 存在, 则 也存在, 且 ( 证 ) 由该定理可见,若函数 在区间 I上可导,则区间 I上的每一点,要么是导函数 的连续点,要么是 的第二类间断点.这就是说,当函数 在区间 I上 点点可导时,导函数 在区间 I 上不可能有第二类间断点. 推论 4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导, 且 ( 证 ) Th ( Darboux ) 设函数 在区间 上可导且 . 若 为介于 与 之间的任一实数, 则 设 对辅助函数 , 应用系 4 的结果. ( 证 ) 2 / 8 3. Cauchy 中值定理: Th 3 设函数 和 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导, 和 在 内不同时为零, 又 则在 内至少存在一点 使 . 证 分析引出辅助函数