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第八章 不定积分 (14 学时) §1 不定积分概念与基本积分公式 教学目的要求： 掌握不定积分的概念和性质，会用初等数学中的公式和基本积分公式计算不定积分. 教学重点、难点： 重点不定积分的定义，用初等数学中的公式和基本积分公式计算不定积分. 难点不定积分定义的理解. 学时安排: (2 学时) 教学方法: 讲授法. 教学过程: 微分法的基本问题——从已知函数求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——求一个已知函数，使其导数恰好是某一已知函数——这就是所谓的积分问题。 原函数与不定积分 （一） 原函数 定义 1 设函数 f ( x ) 与 F ( x ) 在区间 I 上有定义。若 F ?( x ) ? f ( x ) ， x ? I ， 则称 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 上的一个原函数。 1 x 3 1 cos 2 x 1 cos 2 x ? 1 如：3 是 x 2 在 R 上的一个原函数； 2 ， 2 ，sin 2 x ，? cos 2 x 等都有是sin 2 x 在 R 上的原函数——若函数 f ( x ) 存在原函数，则其原函数不是唯一的。 问题 1 f ( x ) 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？ 问题 2 若函数 f ( x ) 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。 定理 1 若 f ( x ) 在区间 I 上连续，则 f ( x ) 在 I 上存在原函数 F ( x ) 。证明：在第九章中进行。 说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。 定理 2 设F ( x ) 是 f ( x ) 在在区间 I 上的一个原函数，则（1）设 F ( x ) ? C 是 f ( x ) 在在区间 I 上的原函数，其中C 为任意常量（若 f ( x ) 存在原函数，则其个数必为无穷多 个）。（2） f ( x ) 在 I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。 证明：由定义即可得。 （二） 不定积分 定义 2 函数 f ( x ) 在区间 I 上的原函数的全体称为 f ( x ) 在 I 上的不定积分，记作： ? f ( x ) dx 其中? ? ? 积分号； f ( x ) ? ? 被积函数； f ( x ) dx ? ? 被积表达式； x ? ? 积分变量。 注 1 ? f ( x ) dx  是一个整体记号； 注2 不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，则 f ( x ) 的不定积分是一个函数族 ?F ( x ) ? C ?，其中C 是任意常数，于是，记为 ： ? f ( x ) dx = F ( x ) ? C 。 此时称C 为积分常数，它可取任意实数。故有 [ ? f ( x ) dx ]? ? f ( x ) ——先积后导正好还原； 或 d ? f ( x ) dx ? f ( x ) dx 。 ? f ?( x ) dx ? f ( x ) ? C ——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）。 或 ? df ( x ) ? x 3 f ( x ) ? C 。 1 ? x 2 dx ? 如： C ? sin 2 xdx ? ? 3 ， cos 2 x ? C 2 。 不定积分的几何意义 ： 若F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，则称 y ? F ( x ) 的图象为 f ( x ) 的 一条积分曲线。于是， f ( x ) 的不定积分在几何上表示 f ( x ) 的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一载积分曲线组成的曲线族，如左图。 结论：若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。 0 00 0注： 在求原函数的具体问题中，往往是先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件F ( x ) ? y （称之为初始条件，一般由具体问题确定）的原函数，它就是积分曲线族中通过点( x , y ) 0 0 0 0 二 基本积分表 1.? 0 1. ? 0 dx ? C ；2. ? 1dx ? ? dx ? x ? C ；3. ? x ? dx ? ? x ? ?1 ? 1 C ， (? ? ? 1, x ? 0 ) ； 6. ? a x dx ? 4. a x ln a ? 1 dx ? ln x ? C x ， ( x ? 0 ) ；5. ? e x dx ? e x ? C ； C ， ( a ? 0, a ? 1) ；7. ? cos axdx