半群与幺半群.pptVIP

* * 近世代数 * 第一张，课件共二十二张，编辑于2022年5月 定义1 设?为S上的二元运算, 如果存在el (或er)?S，使得对任意 x∈S 都有 el?x = x (或 x?er = x)， 则称el (或er)是S中关于?运算的左(或右)单位元. 若e∈S关于?运算既是左单位元又是右单位元，则 称e为S上关于?运算的单位元. 单位元也叫做幺元. 特异元素：单位元 * 第二张，课件共二十二张，编辑于2022年5月 问题：设?为S上的二元运算, (1) 如果S关于?运算有左单位元el ，则 S关于?运算 一定有右单位元er 吗？ 例：设R为实数集合，如下定义R上的二元运算?： ?x, y∈R, x ? y = x 或 x ? y = y. (2) 若S关于?运算既有左单位元el又有右单位元er ， 则el = er ( = e )? (3) 若S关于?运算有单位元，则单位元唯一吗？ 特异元素：单位元 * 第三张，课件共二十二张，编辑于2022年5月 定理1 设?为S上的二元运算，el和er分别为S中关于 运算的左和右单位元，则el = er = e为S上关于?运算 的惟一的单位元. 单位元惟一性定理 * 第四张，课件共二十二张，编辑于2022年5月 定义2 设?为S上的二元运算， 如果存在? l (或? r)∈S，使得对任意 x∈S 都有 ? l ?x = ? l (或 x? ? r = ? r)， 则称? l (或? r)是S 中关于?运算的左(或右)零元. 若? ∈S 关于?运算既是左零元又是右零元，则称 ?为S上关于运算?的零元. 特异元素：零元 * 第五张，课件共二十二张，编辑于2022年5月 问题：设?为S上的二元运算, (1) 如果S关于?运算有左零元? l ，则 S关于?运算 一定有右零元? r 吗？ 例：设R为实数集合，如下定义R上的二元运算?： ?x, y∈R, x ? y = x 或 x ? y = y. (2) 若S关于?运算既有左零元? l又有右零元? r ， 则? l = ? r ( = ? )? (3) 若S关于?运算有零元，则零元唯一吗？ 特异元素：零元 * 第六张，课件共二十二张，编辑于2022年5月 定理2 设?为S上的二元运算，? l 和? r分别为S中关 于运算的左和右零元，则? l = ? r = ?为S上关于?运 算的惟一的零元. [注意] 当 |S| ? 2，单位元与零元是不同的； 当 |S| = 1时，这个元素既是单位元也是零元. 零元惟一性定理 * 第七张，课件共二十二张，编辑于2022年5月 定义3 设?为S上的二元运算, 令e为S中关于运算?的单 位元. 对于x∈S，如果存在yl (或yr)∈S使得 yl?x=e（或x?yr=e） 则称yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于?运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆 元，则称y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是 可逆的. 可逆元素和逆元 * 第八张，课件共二十二张，编辑于2022年5月 问题：设?为S上的二元运算, 令e为S中关于运算?的 单位元. 对于x∈S， (1) 如果x有左逆元yl ，则 x一定有右逆元yr 吗？ 例： SS为S上的所有映射的集合，则合成运算?为SS 上二元运算. 单射左可逆，满射右可逆. (2) 若x既有左逆元yl又有右逆元yr ，则yl = yr ? (3) 若x有逆元，则逆元唯一吗？ 可逆元素和逆元 * 第九张，课件共二十二张，编辑于2022年5月 定理3 设?为S上可结合的二元运算, e为该运算的 单位元, 对于x∈S 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr, 则有 yl = yr= y, 且 y是 x 的惟一的逆元. [说明] 对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟 一的逆元，记作 x?1 . 逆元惟一性定理 * 第十张，课件共二十二张，编辑于2022年5月 第2节 半群与幺半群 主要内容: 半群与幺半群 子半群、子幺半群、理想 循环半群与循环幺半群 * 第十一张，课件共二十二张，编辑于2022年5月 定义1 (1) 设(S, °)是一个代数系统，如果运算°满足结合律， 则称(S, °)为一个半群. (2) 设(S, °)是半群，若e∈S是关于°运算的单位元， 则称(S, °)是一个幺半群，