尖子生数列提高通项公式的求法.docxVIP

尖子生数列提高之通项公式的求法 因为数列在课本上的内容和习题相对都比较简单，而在考试尤其是高考取数列题目大 多半又比较难，有的题目很难、很复杂，显示出很大的反差。使得在学习数列时感觉很困难。 同时，数列题目种类众多，很难归类。 为了便于研究数列问题，找出其中某些常有数列题目的解题思路、规律、方法，现把一些常有的数列通项公式的求法作以下归类。 . 一、作差求和法规 1在数列{an}中，a1 3,an1 an 1 ，求通项公式an. 1) n(n 解：原递推式可化为： an1 an 1 1 1 则 a2 a1 11, 1 1 n n 1 2 a3 a2 2 3 a4 a3 11，，an an1 1 1 1逐项相加得：an a1 1 1.故 3 4 n n n an 4 1 . n 二、作商求和法 例2 设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n1)an1 2 nan 2 an1an 0 （n=1,2,3），则它的通项公式是 an=▁▁▁（2000年高考 15题） 解：原递推式可化为： [(n1)an1 nan](an1 an)=0 ∵an1 an＞0， an 1 n an n 1 a2 1 a3 2a4 3 ， an n1 逐项相乘得： an 1 则 , , , an1 n a1 ，即 a1 2a2 3a3 4 n 1 an=. n 三、换元法 例3 已知数列{an}，其中 a1 4 13，且当n≥3时， an1 1 (an1 an2) ， 9 3 3 求通项公式an（1986 年高考文科第八题改编）. 解：设bn 1 an an1，原递推式可化为： bn1 1bn2,{bn}是一个等比数列，b1 a2 a1 13 4 1，公比为1.故 3 9 3 9 3 bn1 b1 (1)n2 1(1)n2 (1)n.故an an1 (1)n.由逐差法可得： an 3 1(1)n. 3 9 3 3 3 2 2 3 例4 已知数列{an}，其中a1 1,a2 2，且当n≥3 时，an 2an 1 an2 1，求通 项公式an。解由an 2an1 an2 1得：(an an1)(an1an2)1，令 bn1 an an1，则上式为bn1 bn 2 1，因此{bn}是一个等差数列， b1 a2 a1 1， 公差为 1.故bn n.。 由于b1 b2 bn1 a2 a1 a3 a2 an an1 an 1 又b1 b2 bn1 n(n 1) 2 1n(n 1(n2 所以an 1 1)，即an n 2) 2 2 四、积差相消法 例5设正数列a0 ，a1，an，an，知足 anan2 an 1an 2= 2an 1 (n 2) 且a0 a11，求{an}的通项公式. 解 将递推式两边同除以 an1an 2整理得： an an1 1 an1 2 an2 设bn = an ，则b1 a1 =1，bn 2bn1 1，故有 an1 a0 b2 2b1 1 ⑴b3 2b2 1 ⑵ bn 2bn 1 1 (n 1) 由⑴ 2n2+⑵ 2n3++(n1)20得bn1 222 2n1=2n 1，即 an =2n 1. an1 逐项相乘得：an=(2 1)2(22 1)2 (2n 1)2，考虑到a0 1， 故an 1 (n 0) . (2 1)2(2 2 1)2 (2n 1)2 (n 1) 五、取倒数法 例6 已知数列{an}中，其中a1 1,，且当n≥2 an 1 ，求通项公式an。 时，an 1 2an1 解 将an an 1 两边取倒数得： 1 1 2，这说明{ 1 是一个等差数列， an an1 } 2an1 1 an 首项是1 1，公差为 2，所以1 1(n 1) 2 2n1，即an 1 . a1 an 2n 1 六、取对数法 例7 若数列{an}中，a1=3且an 1 an 2（n是正整数），则它的通项公式是 an=▁▁ ▁（2002年上海高考题）. 解 由题意知an＞0，将an1 an 2两边取对数得lgan12lgan，即lgan 1 2，所 lgan 以数列{lgan}是以lga1=lg3 为首项，公比为 2的等比数列，lgan lga1 2n1 lg32n1 ， 即an32n1 . 七、平方（开方）法 例8 若数列{an}中，a1=2且an 3 an2 1（n2），求它的通项公式是 an. 解 将an 3 an2 1两边平方整理得 an2 an2 1 3。数列{an2 }是以a12 =4为首项，3 为公差的等差数列。 an2 a12 (n 1) 3 3 n 1。因为an＞0，所以an 3n 1。 八、待定系数法 待定系数法解题的重点是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，能够少走弯路.其变换的基本形式如下： 1、an1Aan B（A、B为常数）