八年级数学上册 1.2 怎样判定三角形全等 注意全等三角形的构造方法素材 （新版）青岛版.docVIP

PAGE 1 可修改 欢迎下载 注意全等三角形的构造方法 搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造适宜的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考． 1．截长补短法 AB A B C D F E G 图〔1〕 求证：AB+BE=AC． 解法〔一〕〔补短法或补全法〕延长AB至F使AF=AC， 由△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45o， ∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC． 解法〔二〕〔截长法或分割法〕在AC上截取AG=AB，由 ABE≌△AGE，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45o, ∴CG=EG, ∴AB+BE=AG+CG=AC． 2．平行线法〔或平移法〕 假设题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线． 例2．△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ〔全国初中数学赛题 〕． 证明：如图，过O作OD∥BC交AB于D， ∴∠ADO=∠ABCAB A B C P 〔〕 Q D O 又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP， ∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=OD，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ． 说明：⑴此题也可以在AB截取AD=AQ，连OD， 构造全等三角形，即“截长补短法〞． ⑵此题利用“平行法〞解法也较多，举例如下： O O A B C P Q D 图〔2〕 A B C P Q D E 图〔3〕 O 如图〔2〕，过O作OD∥BC交AC于D， 那么△ADO≌△ABO来解决． AB A B C P Q 图〔4〕 D O 交AC于E，那么△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决． 如图〔4〕，过P作PD∥BQ交AB的延长线于D， 那么△APD≌△APC来解决． AB A B C P Q 图〔5〕 D O 那么△ABP≌△ADP来解决． 〔此题作平行线的方法还很多，感兴趣 的同学自己研究〕． 　3．旋转法 对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形． 例3．：如图〔6〕，P为△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5， 求∠APB的度数． AB A B C P D 联想到构造直角三角形． 略解：将△BAP绕A点逆时针方向旋转60°至△ACD，连接PD， 那么△BAP≌△ADC，∴DC=BP=4，∵AP=AD，∠PAD=60°， 又∵PC=5，PD+DC=PC 图〔6〕 ∴△PDC为Rt△, ∠PDC=90o∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90o=150o． 4．倍长中线法 题中条件假设有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内． 例4．如图〔7〕AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE． EA E A B C D F H 证明：延长AD至H使DH=AD，连BH，∵BD=CD， ∠BDH=∠ADC，DH=DA， ∴△BDH≌△CDA，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF， ∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE= 图〔7〕 ∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF． 5．翻折法 假设题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形． 例5．如图〔8〕：在△ABC中，∠A=45o, AD⊥BC，假设BD=3，DC=2， 求：△ABC的面积． 解：以AB为轴将△ABD翻转180o，得到与它全等 AB A B C D E G F 与它全等的△AFC，EB、FC延长线交于G，易证 四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，那么BG =x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，〔x-3〕+〔x-2〕=5． 解得x=6，那么AD=6，∴S△ABC=×5×6=15．