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第二章 参数估计（点估计） 习题课 X补充练习 2.1 设母体 的分布律 X 为P (X k ) (k 1) 2 (1 )k 2 , 其中 k 2,3, , 0 1, 未知， 求 的矩估计和 最大似然估计. 解：求矩估计 ① E (X ) 1 k (k 1) k 2 2 (1 )k 2 2 k 2 k (k 1)(1 )k 2 s(x) k (k 1)xk 2 ( kx k 1 ) ( xk ) k 2 k 2 x 2 1 ( ) ( 1 x  k 2 2 ) 1 x 1 x (1 x)3 2 2 2 s(1 ) 2 1 3 ② A 1 n X X , 1 n i i 1 ③令 A ， 即 2 X ，解得 2 . 1 1 X 求最大似然估计 X① 母 体 的 分 布 律 为 X P { X x} (x 1) 2 (1 )x 2 ， ② 似 然 函 数 n n L ( ) P { X i 1 x } (x i i i 1 1) 2 (1 )xi 2 ， ③取对数 nln L ( ) ln[(x n i i 1 1) 2 (1 )xi 2 ] n[ln(x n 1) 2 ln (x 2)ln(1 )] i i i 1 ④求最大值点 d令 ln L ( ) d d n 2 1 1[ (x 2 ) 1 i i 1 1 n ( 1)] 1 n (1 ) (2 x ) i i 1  (1 ) (2 n x ) i i 1 解得 2 x ，故： 的最大似然估计量为 2 . X 补充练习 2.2 设母体分布密度为 1 x 1 f(x; , ) 1 2 e 2 , x 2 , 1 , 0 2 ,1 2求 的最大似然估计. , 1 2 0, 其它 n 1 xi 1 L ( , ) 1 2 e 2 , x i 1 i 1 2 , i 1,2 , ,n , 0 2 ②取对数： ln L n [ ln 2 i 1 ③求最大值点：  x i 1 ] 2 ln L 1 1 n[ n i 1 2 n ( 1)] 2 0 , 关于 , ln L 1 为此，只须以 的最大可能值为 ，注 1 1 意到 x , i 1,2, ,n ， 即 1 i 1 min { x } i 1 i n ， 故 取 ： min { x } . 1 i 又令：1 i n 又 令 ： ln L 2 1 n[ n i 1 2 1 (x )( )] i 1 2 2 1 n 2 2 i 1 (x ) i 1 2 1 n [ x n ( 2 i  )] 0 1 2 2 i 1 则 x ，故取 1 2 2 x min { x } . i 1 i n P77,Ex7 解：由例 2.1.7结论知 的 最 大 似 然 估 计 为 max { x 1 i n } 2 .2 . i E ( X ) 1 , 2 D ( X ) 2 12 2 ，故 1 1 1 .1， 2 2 12 2 0 .40 ,补充练习 2.3 设 , 1 是 的两个独 2 立无偏估计量，且D (θ) 2 D (θ ) ，试确定 1 2 常数c ,c ，使 1 2 c c 1 1 2 2 为 的最小方 差无偏估计量. 解： E (  ) E ( ) 1 2 ， , 独立， 1 2 且D (θ ) 2 D (θ ) 1 2 令 E ( ) E (c θ c θ ) c E ( ) c E ( ) (c c ) 1 1 2 2 ， 1 1 2 2 1 2 则应有 c c 1 . 1 2 又为使 D ( ) D (c c ) c 2 D ( 1 1 2 2 1 ) c 2 D ( ) (2 c 2 1 2 2 1 c 2 )D ( 2 2 ， 只要求函数 z 2c2 1  c 2 在条件 c c 1 下 2 1 2 c 的极小值点，解得 1 c 2 1 /3 . 2 /3 P78,Ex13 证明：①母体 X ~ P ( )， E (S *2 ) D (X ) , S *2 是 的无 偏估计. ② E [ X (1 )S * 2 ] E (X ) (1 )E (S * 2 ) E (X ) (1 )D (X ) (1 ) X (1 )S *2 也 是 的 无 偏 估 计 . 证毕 P78,Ex14 解 ： X ~ N ( , i  2 ) 且 相 互 独 立 ， XX X ~ N (0 ,2 σ2 ) ， i 1 X i 1 i X X i ~ N (0,1) ， 22XX X 2 2 X 2从而( i 1 2 i )2 ~ 2 (1)， E ( i 1 i )2 1 . n 1为使c n 1 i 1 i 1 X