函数图象与性质板块一函数单调性教师版普通高中数学复习讲义Word版.docVIP

函数图象与性质.板块一.函数单调性.教师版普通高中数学复习讲义Word版 函数图象与性质.板块一.函数单调性.教师版普通高中数学复习讲义Word版 袇PAGE 袁薆 芁蝿 袆袀 羇螄 节蒆 虿螆 衿蒂 羇莄 蚃蒆 莁羈 蚈螁 肇羃 肄莆 衿艿 蒇芃 膆薂 蒅芆 薁蒀 函数图象与性质.板块一.函数单调性.教师版普通高中数学复习讲义Word版 板块一.函数的单调性 （一）主要知识： 1.函数单调性的定义： ①如果函数  fx对区间  D内的任意  x1,x2，当  x1  x2时都有fx1  fx2  ，则称fx在 D内是增函数；当  x1  x2时都有fx1  fx2  ，则  fx在D内时减函数． ②设函数  y  f(x)  在某区间  D内可导，若  f  x  0，则  y  f(x)  为xD的增函数；若 f  x  0，则  y  f(x)  为x  D的减函数． 2.单调性的定义①的等价形式： 设x1,x2 a,b f x1 fx2 0fx在a,b是增函数； ，那么 x1 x2 f x1 f x2 0 f x在a,b是减函数； x1 x2 x1 x2 f x1 f x2 0 f(x)在a,b是减函数． 复合函数单调性的判断：“同增异减” 函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题． 即若f(x)在区间D上递增（递减）且 f(x1) f(x2)x1 x2（x1,x2 D）； 若f(x)在区间D上递递减且f(x1) f(x2) x1x2．（x1 ,x2D）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等 （二）主要方法 1．议论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定 义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义； 用定义法证明函数单调性的一般步骤： ①取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2②作差变形：经过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差f(x1)f(x2)（或f(x2)f(x1)）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨 论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数； ⑷如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一非空子区间上也是增（减） 函数； ⑸图象法； ⑹复合函数的单调性结论：  “同增异减”； 复合函数的观点： 如果y是u的函数，记作  y  f(u)  ，u是x的函数，记为  u  g(x)，且  g(x)  的值域与  f(u) 的定义域的交集非空，则经过  u确定了  y是  x的函数  y  f[g(x)]，这时  y叫做  x的复合函 数，其中  u叫做中间变量，  u  f(u)  叫做外层函数，  u  g(x)  叫做内层函数． 注意：只有当外层函数 数f[g(x)]．  f(u)的定义域与内层函数  g(x)  的值域的交集非空时才能组成复合函 ⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内拥有相反的单调性． ⑻互为反函数的两个函数拥有相同的单调性． ⑼在公共定义域内，增函数 f(x) 增函数g(x)是增函数；减函数f(x) 减函数g(x)是减 函数；增函数f(x) 减函数g(x) 是增函数；减函数 f(x)增函数g(x)是减函数． ⑽函数yax b(a 0,b 0)在 , b或 b, 上单调递增；在 b,0或 0，b x a a a a 上是单调递减． 典例解析 题型一：求函数的单调性，常用以下方法。 1.定义法 【例1】试用函数单调性的定义判断函数 f(x) 2x 在区间(0,1)上的单调性． x1 【考点】求函数单调性 【难度】1星 【题型】解答 【重点词】无 【解析】任取x1,x2 (0, 1)，且x1 x2，则f(x1) 2x1 2x2 2(x2x1) ， f(x2) 1x2 1(x11)(x21) x1 由于0x1 x2 1，x11 0，x210，x2 x10， 故f(x1) f(x2) 0，即f(x1) f(x2)所以，函数f(x) 2x 在(0, 1)上是减函数． x1 【答案】任取x1,x2 (0, 1)，且x1 x2，则f(x1) f(x2) 2x1 2x2 2(x2x1) x1 1x2 ， 1(x11)(x21) 由于0x1 x2 1，x11 0，x2 10，x2 x1 0， 故f(x1) f(x2) 0，即f(x1)f(x2)所以，函数f(x) 2x 在(0, 1)上是减函数． x 1 【例2】证明函数yx3在定义域上是增函数． 【考点