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长春市普通高中 2022 届高三质量监测（三）线上测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. B 2. C 3. A 4. B 5. A 6. D 7. D 8. D 9. C 10. A 11. C 12. A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 7 14. 1 1 15. 1 ; 7 16. 8 9 e 3 3 5 三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 【试题解析】解：（1）由频率分布直方图可知a 0.014 . （2 分） （2 分） （2）平均成绩为(45 0.006 55 0.014 65 0.018 75 0.032 85 0.020 95 0.010) 10 72.6 . （4 分） （6 分）（3）根据分层抽样可知，成绩在[80, 90) 中有 4 人，分别设为 A, B , C , D ， 在[90,100] 中有 2 人，分别设为a , b ，（2 分）从这 6 个人中随机选出 3 人的方案一共有 ABC 、 ABD 、 ABa 、 ABb 、 ACD 、 ACa 、 ACb 、 ADa 、 ADb 、 BCD 、 BCa 、 BCb 、BDa 、 BDb 、 CDa 、CDb 、 Aab 、 Bab 、Cab 、 Dab ，20 种，（2 分）其中至多包含[90,100] 中 1 人的有 ABC 、 ABD 、 ABa 、 ABb 、 ACD 、 ACa 、 ACb 、 ADa 、 ADb 、BCD 、 BCa 、BCb 、 BDa 、BDb 、CDa 、CDb ，共计 12 种，（1 分） 因此，取出的 3 人中，成绩在[90,100] 中至多一人的概率为P 12 3 . （1 分） （12 分） 20 5 18. (本小题满分 12 分) 【试题解析】解：（1）在△ABC 中，由 cos BAC cos BCA 及正弦定理， a 2b c cos BAC cos BCA 得 ，（2 分） 2 sin B sin BCA sin BAC 整理得2 sin B cos BAC cos BAC sin BCA sin BAC cos BCA 2 sin B cos BAC sin B ，因为在△ABC 中，sin B 0 ，（2 分） 所以cos BAC 1 ，又0BAC ，所以 BAC ．（2 分） （6 分） 2 3 （2）由（1）知 BAC 3 ，因为b 32 c , c 23 b ， 所以S ABC 12 bc sin BAC 63 b2 ，（2 分） S ADC 12 b2 2 ( b2 )2 ，S ABC 2S ADC ，（2 分） b 3 b2 b 2 2 ( )2 ，解得b 2 ． （2 分） （12 分） 所以 3 6 2 (本小题满分 12 分) 【试题解析】（1）因为F 为 BC 的中点，底面 ABCD 是边长为2 的菱形， DAB 3 ，所以 DCB 3 且DC 2 CF 2 ，易知：△DFC 为直角三角形，故 FDC 6 ， ADC 23 ，则 ADF ADC FDC 2 ，故DF AD，（2 分） 由平面 ADP 平面 ABCD ，平面 ADP 平面 ABCD AD ，DF 平面 ABCD ，数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 1 页（共 3 页） 所以DF 平面 ADP ，（2 分）又 AE 平面 ADP ，即 AE DF . （2 分） （6 分） （2）由△PAD 是以 AD 为底边的等腰三角形，E 为 PD 的中点， AE ，设DE m ， 3 由余弦定理有，cos EDA cos PDA ， 4 m2 3 1 ，解得m 1，（2 分） 4 m 2m △PAD 为等边三角形，由平面PAD 平面 ABCD ，点P 到平面 ABCD 的距离为 3 ，（2 分） 2 由△CDF 的面积为 ，所以三棱锥D CEF 的体积为 1 .（2 分） 3 （12 分） 4 8 (本小题满分 12 分) 【试题解析】解：（1）由长轴的两个端点分别为 A 2, 0 ， B 2, 0 ，可得a 2 ， 由离心率为 23 ，可得 ac 23 ，所以c 3 ，（2 分）又a 2 b 2 c2 ，解得b 1， x2 所以椭圆 C 的标准方程为 y2 1. （2 分） （4 分） 4 x my 1 2 2 2my 3 0 （2）设直线 l 的方程为 x my 1 ，由 x2 y 2 1 得 m 4 y 4 设M x1 , y1 ， N x 2 ,