考研数一真题及答案解析2015.pdfVIP

2 0 1 5 年 考 研 数 学 （一 ） 试 题 解 析 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项: 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．． (1)设函数f (x)在,内连续，其中二阶导数f (x) 的图形如图所示，则曲线 yf (x)的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点， 并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由f (x) 的图形可得， 曲线yf (x)存在两个拐点.故选（C）. 1 1 2x x (2)设y e (x )e 是二阶常系数非齐次线性微分方程 2 3 x   y ay byce 的一个特解，则( ) (A) a3,b2,c1 (B) a3,b2,c1 (C) a3,b2,c1 (D) a3,b2,c1 【答案】（A） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程 的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估 系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 1 1   【解析】由题意可知， e2x 、 ex 为二阶常系数齐次微分方程y ay by0的解， 2 3 所以2,1为特征方程r arb02 的根，从而a(12)3，b122，从而原方 x x   程变为y 3y 2yce ，再将特解yxe 代入得c1.故选（A） (3) 若级数 a 条件收敛，则 x 3与x3依次为幂级数 na (x1)n 的 ( ) n n n1 n1 (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.   【解析】因为 a 条件收敛，即x2为幂级数a (x1)n 的条件收敛点，所以 n n n1 n1  a (x1)n 的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 n n1   na (x1)n 的收敛区间还是(0,2).因而x 3与x3依次为幂级数na (x1)n 的 n n n1 n1 收敛点，发散点.故选（B）.