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PAGE1 / NUMPAGES9 解决平面向量问题相关技巧梳理 一：奔驰定理 1：奔驰定理内容三角形的面积比等于其所对应的系数比 已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 2.推导过程 证明方法一：如图延长与边相交于点则 推论是内的一点，且，则 二.极化恒等式 2.推导过程： 三角形的四心 1.推论 重心：中线的交点， ①是的重心 ②中线长度分成2：1 ③= 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等 ①是的内心 ② 外心： ①是的外心 ② 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直 ①是的垂心: 证明：如图为三角形的垂心， 同理得， ② 由，得，即，所以．同理可证，． 技巧1 奔驰定理 【例1】是内一点，满足，则（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1.已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（ ） A． B． C． D． 2.点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ） A．3 B．2 C． D． 3.已知点O是内一点，满足，，则实数m为（ ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 技巧2 三角形的四心 【例2-1】点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的__________心． 【例2-2】在中，设，则动点M的轨迹必通过的（ ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【举一反三】 1.过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的（ ） A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 2．设点P是△ABC所在平面内一点，，则点P是△ABC A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 3．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的________心． 4．设是平面内一定点，为平面内一动点，若，则为的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 技巧3 极化恒等式 【例3】（1）在中，若，边上中线长为3，则（ ） A．-7 B．7 C．-28 D．28 （2）在中，，点在上，且，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1.如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为　　 A． B． C． D．3 2.已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 A． B． C． D． 3．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ） A． B．1 C． D．2 巩固练习 1．点在△内部，且满足，则△的面积与△、△面积之和的比为________ 2．已知点P在△ABC所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________． 3．设点在的外部，且，则 。 4．已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为 。 5．设点是的重心，且满足，则 。 6．若在△ 中,，其外接圆圆心满足，则__________. 7．已知是锐角的外心，．若，则实数______． 8．已知是平面上一定点，满足，，，则的轨迹一定通过的 （外心、垂心、重心、内心） 9．已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的 （填三角形的四心） 10．已知是半径为1的圆的一条直径，点是圆上一动点，则的最大值等于 。 11．正方形的边长为2，圆内切于正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______. 12．已知正方形的边长为4，是的中点，动点在正方形的内部或其边界移动，并且满足，则的最小值是______． 13．如图所示，在中，，则的最小值是__________ 14．正方形的边长为2，，分别为，的中点，点是以为圆心，为半径的圆上的动点，点在正方形的边上运动，则的最小值是______.