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PAGE15 / NUMPAGES15 外接球与内切球问题解题技巧梳理 外接球8大模型秒杀公式推导 1.墙角模型 使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合 （2）推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径 秒杀公式： （4）图示过程 秒杀公式： 2.汉堡模型 （1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体 （2）推导过程 第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置 第二步：根据勾股定理可得 （3）秒杀公式： （4）图示过程 3.斗笠模型 （1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上 （2）推导过程 第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h 第二步：在h上取一点作为球心O 第三步：根据勾股定理 （3）秒杀公式： （4）图示过程 4.折叠模型 使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 推导过程 第一步：过两个平面取其外心H1、H2，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O 第二步：计算 第三步： （3）秒杀技巧： （4）图示过程 5.切瓜模型 （1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥 （2）推导过程： 第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON 第二步： （3）秒杀公式： （4）图示过程 6.麻花模型 （1）使用范围：对棱相等的三棱锥 （2）推导过程：设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、c 秒杀公式： 图示过程 7.矩形模型 （1）使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边 （2）推导过程：根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得，斜边为球的直径 （3）秒杀公式： （4）图示过程 鳄鱼模型 使用范围：适用所有的棱锥 推导过程： （3）秒杀公式： （4）图示过程 内切球的半径等体积法 推导过程 秒杀公式： 图示过程 技巧1 外接球之墙角模型 【例1】已知长方体中，，，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 技巧2 外接球之汉堡模型 【例2】已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（ ） A．4π B．3π C．2π D．4π 3．在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（2020·全国高三月考（文））三棱柱中，平面，，，，，则该三棱柱的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 技巧3 外接球之斗笠模型 【例3】正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________. 2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 技巧4 外接球之折叠模型 【例4】在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A．7π B．8π C． D． 【举一反三】 1．已知二面角的大小为120°，且，，.若点P、A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______. 2．如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A．π B．π C．π D．3π 技巧5 外接球之切瓜模型 【例5】已知三棱锥中，，，，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 技巧6 外接球之麻花模型 【例6】在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 技