复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案.docxVIP

WORD格式 专业资料整理 ?复变函数与积分变换 ?期末试题〔A〕答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题〔A〕 一．填空题〔每题3 分，共计 15 分〕 1 ．1 i 3的幅角是〔 2k , k 0, 1, 2 〕； 2. Ln( 1 i ) 的主值是 2 3 1 ln 2 3 i 〕；3. f ( z) 1 (5) (0) 〔0 〔 2， f 〕； 2 4 1 z z sin z 1 4．z 0 是 z4 的〔一级〕极点；5．f (z) z，Res[ f ( z), ] 〔-1 〕； 二．选择题〔每题3 分，共计 15 分〕 1．解析函数f (z)u( x, y) iv ( x, y) 的导函数为〔B〕； 〔A〕f ( z) ux iu y；〔B〕f ( z) ux iu y； 〔C〕 f ( z) u x iv y；〔D〕f ( z) u y iv x. 2．C是正向圆周 z 3 ，如果函数 f (z) 〔D 〕，那么 ( )d 0 ． C f z z 〔A〕 3 ；〔B〕3(z 1)；〔 C〕3( z 1) ；〔D〕 3 . z 2 z 2 (z 2) 2 ( z 2)2 3．如果级数 n 1 cn zn 在 z 2 点收敛，那么级数在〔 C 〕 〔 A〕z 2 点条件收敛； 〔B〕z 2i 点绝对收敛； 〔 C〕z 1 i 点绝对收敛； 〔 D〕z 1 2i 点一定发散． ４．以下结论正确的选项是 ( B ) 〔A〕如果函数f ( z)在z0点可导，那么f ( z)在z0点一定解析； WORD格式 专业资料整理 共6页第1 页 WORD格式 专业资料整理 如果 f (z) 在C所围成的区域内解析， f (z)dz 0 C 〔 C〕如果 f (z)dz 0 ，那么函数 f ( z) 在C所围成的区域内一定解析； C 〔 D〕函数f (z) u( x, y) iv (x, y) 在区域内解析的充分必要条件是 u( x, y) 、 v( x, y) 在该区域内均为调和函数． 5．以下结论不正确的选项是〔 D 〕． (A) 为 sin 1 的可去奇点； (B) 为 的本性奇点； z sin z (C)为 1 的孤立奇点 ; (D) 为 1的孤立奇点 . sin 1 sin z z 三．按要求完成以下各题〔每题 10 分，共计 40 分〕 〔 1〕设f ( z) x2 axy by 2 i (cx2 dxy y 2 ) 是解析函数，求a, b,c, d. 〔 2〕．计算 ez 2 dz 其中C是正向圆周：z 2； 1) C z( z 〔 3〕计算 z15 z 3 (1 z 2 ) 2 (2z4)3dz 〔 4〕函数f ( z) z( z2 1)( z 2)3 ( z 3) 2 (sin z)3 在扩大复平面上有什么类型的奇 点？，如果有极点，请指出它的级 . 四、〔此题 14 分〕将函数f (z) 1 在以下区域内展开成罗朗级数； z2 ( z 1) 〔1〕 0 z 1 1，〔2〕 0 z 1 ，〔3〕 1 z 五．〔此题 10 分〕用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题 y ( x) 5 y ( x) 4 y( x)e x y(0) y (0) 1 WORD格式 专业资料整理 共6页第2 页 WORD格式 专业资料整理 六、〔此题 6 分〕求f (t) e t ( 0) cos t 2 d e 2 0 2 的傅立叶变换，并由此证明： t WORD格式 专业资料整理 三．按要求完成以下各题〔每题 10 分，共 40 分〕 〔 1 〕．设f ( ) x 2 axy by 2 ( cx 2 dxy y 2 ) 是解析函数，求 z i a,b, c, d. 解：因为 f ( z) 解析，由C-R条件 u v u v x y y x 2x ay dx 2 y ax 2by 2cx dy, a 2, d 2, ， a 2c,2b d , c 1, b 1, 给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。 〔 2〕．计算 ez 2 dz 其中C是正向圆周： C (z 1) z 解：此题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 ez 因为函数 f (z) (z 1)2z在复平面内只有两个奇点z1 0,z2 1，分别以 z1,z2 为圆心画互不相交互不包含的小圆 c1 ,c2 且位于 c 内 ez ez 2 ez dz ( z 1) z 2 dz C ( z 1) 2 z dz C2 ( z1) z C 1 2 i ( ez ) 2 i ez 2 i z z 1