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第十八章 勾股定理 复习 定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。 1、勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是说在Rt △ ABC中，设∠C = 90°，∠C、∠A、∠B 所对的边分别为 c、a、b，则 c、a、b 满足关系a2 + b2 = c2。 在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 注意：由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和，避免出现这样的错误：在△ ABC 中，∠B = 90°，则a2 + b2 = c2。 2、勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明，这是最常见的一种方法。验证如下： ａｃｃ∴c2＝a2＋ ａ ｃ ｃ 证法 2：∵S ＝2S 梯形 ＋S 小三角形  大三角形 现有四块直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形纸板，请从中取出若干块拼图，证明勾股定理。证法 1：∵S大正方形＝4S三角形＋S 现有四块直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形纸板，请 从中取出若干块拼图，证明勾股定理。 证法 1：∵S 大正方形 ＝4S 三角形 ＋S 小正方形 ∴c2＝4 × 1 ab＋(b ? a)2 2 大正方形 三角形 小正方形 ∴(a + b)2 = 4 × 1 ab + c2 2 ∴a2 + b2 = c2 3、勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作 用有： 2 2 2 ∴a2 + b2 = c2 证法 3：∵S ＝4S ＋S ｂ ａ 已知直角三角形的任两边，求第三边问题 ； 证明三角形中的某些线段的平方关系； 作长为无理数的线段. 注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。若求直角边，则利用勾股定理的变形式a2 = c2 ? b2 = (c + b)(c ? b)或b2 = c2 ? a2 = (c + a)(c ? a)；若求斜边，则利用c2 = a2 + b2；若不能确定则分以上两种情况讨论。 4、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a、b、c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤： 确定最大边； 算出最大边的平方，另两边的平方和； 比较最大边的平方与另两边的平方和，如果相等则此三角形是直角三角形。不要盲目比较其中任意一边平方与另两边的平方和的关系。 5、勾股数： 满足a2 + b2 = c2的三个正整数称为勾股数。 探索神秘的勾股数组：若 a、b、c 是一组勾股数，则 ka、kb、kc(k 为正整数)也是勾股数，下列各组数都是常见勾股数：｛3k，4k，5k｝、｛5k，12k，13k｝、｛8k，15k， 17k｝、｛7k，24k，25k｝、｛9k，40k，41k｝等．以下几个公式都可以产生勾股数： ①设 n 为正整数，且 n＞1，令a = 2n，b = n2 ? 1，c = n2 + 1，则有a2 + b2 = c2； ②设 n 为正整数，令a = 2n + 1，b = 2n2 + 2n，c = 2n2 + 2n + 1，则有a2 + b2 = c2； ③设 m、n 为正整数，且 m＞n，令a = m2 ? n2，b = 2mn，c = m2 + n2，则有a2 + b2 = c2； ④设 m、n、k 为正整数，且 m＞n，令a = k(m2 ? n2)，b = 2kmn，c = k(m2 + n2)， 则有a2 + b2 = c2． 6、互逆命题： 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论与题设，那么这两个命题互为逆命题，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 7、互逆定理： 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 注意：每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理.