电路理论一般电路系统IO微分方程的建立和求解.pptVIP

(1) 数学准备——在高阶动态电路和系统分析中，为了运算和书写的方便，我们引入了微分算符。 §5.2 一般电路系统I/O微分 方程的建立和求解 5.2.1 电路系统I/O微分方程的建立 定义 微分算符 积分算符 性质： ⅰ等式两边的算符不能直接相消； 即：若　Pf1(t)=Pf2(t), 则　f1(t)=f2(t)+A 　 即　f1(t) f2(t) 　 这是因为同时积分要多一个常数。 ⅱ积分算子P－1左乘一个P时，分子分母中的P可以相消，　　 　 而积分算子P－1右乘一个P时，分子分母中的P不可以相消; 即：PP－1＝1 而 P－1 P1 　　将上述性质推广，可以得到如下结论： 　　如果N(P)是算符P的多项式，则 并且 (2) 广义阻抗 (3) 建立电路微分方程的方法 理论依据： ⅰ 电路与系统整体应满足物理规律：KCL,KVL ⅱ 电路与系统局部应满足物理规律：VCR 方法步骤： 方法1： ⅰ 引入广义阻抗于电路 ⅱ 列节点方程，网孔方程 ⅲ 用克莱姆法则求解,将微积分方程组化为一元高阶微分 方程 方法2： ⅰ 依据互联规律列KCL,KVL方程 ⅱ 依据元件规律列VCR ⅲ 将ⅱ代入ⅰ得一组微积分方程组 ⅳ 引入微分算符，进行化简运算得一元高阶微分方程组。 例1：已知双耦合电路如图，试建立响应u2(t)的I/O微分方程 解：1）定义广义阻抗 2）用视察法列写节点方程： un1(t) un2(t) 将方程两边同时微分一次（即同左乘P），即得： 3）将微分方程组化为一元高阶微分方程（用克莱姆法则） 即： 注意：双耦合电路本有5个动态元件，但微分方程为4阶，是因为有一个全电容回路，即独立动态元件数只有4个。所以为4阶。 强调： 1）虽然复阻抗Z(s)与算符广义阻抗Z(P)形式相同，但物理本质不同，Z(s)有明确的物理意义，而Z(P)只是一种数学符号。 2）变量s是复频率s=δ+jω，物理意义明确，在运算中可按代数方法运算。而P是一种数学符号，无物理意义，也不是变量，在运算中必须遵守其运算规则。 例2：已知双耦合电路如图，试建立输出响应i2(t)的微分方程 解 选用网孔电流i1(t)、i2(t)为变量，作出其等效电路图如上图　所示。据KCL，KVL和VCR利用网孔法写出电路方程组： 对(1)、(2)式两边微分一次得 引入微分算子，对联立方程消元得到一元高阶方程： 即 使用克莱姆法则，解此方程组得 (4) LTI电路系统的I/O微分方程 　　通过上面例子，我们了解了电路系统微分方程建立的方法，同时我们也看到了电路系统微分方程所表征的电路系统激励与响应之间的关系，即表明了电路系统输入——输出的函数关系。不涉及电路系统内部，因此可以用下面框图来表示。 这就是所谓黑箱模型。至于系统黑箱内可以是电网络系统，也可以是其它物理系统、生态系统或经济系统，等等。 定义：任意一个LTI单I/O电路系统，可以用下列表示其输入f(t)与输出y(t)之间关系的一元n阶微分方程来描述： 这种描述方法称为系统时域的输入——输出描述法，并用如下定义来表述 或者表示为微分算符形式 式中，a0、a1、…、an-1、an与b0、b1、…、bm-1、bm为常数，它们取决于元件的数值和系统的内部结构，而与外加激励无关。 　　对于一切用物理可实现的系统，输入与输出的导数最高阶次n和m都必须满足不等式：n≥m。 　　数量n称为系统的阶，它等于系统中独立动态元件的个数或独立初始条件的个数。 5.2.2 初始条件的确定 通常电路与系统给定的已知条件，是换路前(t=0-)瞬间的状态即起始状态，而我们要求的初始条件是指换路后(t=0+)瞬间的状态(初始状态)，即y(0+)、y(1)(0+) … y(n-1)(0+)，只有确定了它们之后，才能求解微分方程。 (1) 没有强迫跃变时电路初始条件的确定(满足换路定律情况)： 如果系统中电容电流和电感电压是有界的，那么电容端电压和电感电流以及电荷和磁链都是连续的。它们不能跃变，即它们遵守换路定律： 方法步骤： ⅰ 求t＝0-时的iL(0-)和uC(0-) ⅱ 由换路定律求iL(0+)和uC(0+) ⅲ 由t=0+电路，求y(0+) ⅳ 求得微分初始条件 例5.8 已知电路如图所示，开关K闭合前电路已处于稳态，当t=0时，开关K闭合，求初始条件： 解：1) 作出t=0-时等效电路，求出uC(0-) 和iL(0-) ： 2) 作出t=0+时等效电路，求出iL(0+)和uC(0+)。 因为电路中无强迫跃变，可以由换路定律得 所以t=0+时等效电路如图，因此 3) 根