2019年年考研数学二真题答案解析.docxVIP

1..【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导. 【详解】 方法一： y ? (1 ? sin x) x = e x ln(1?sin x ) ，于是 cos x y? ? e x ln(1?sin x ) ?[ln(1 ? sin x) ? x ? x? =从而 dy ? y?(? )dx ? ?? x? = ] 1 ? sin x ， 方法二： 两边取对数， ln y ? x ln(1 ? sin x) ，对x 求导，得 1 y? ? l n1(? s i nx) ? y x c o sx 1 ? s i nx ， cos x y? ? (1 ? sin x) x ?[ln(1 ? sin x) ? x ? 于是 ] 1 ? sin x ，故 dyx?? = y?(? )dx ? ??dx. dy 【评注】 幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数， 而直接运用相应的求导公式. 2..【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 3 lim f (x) ? lim (1 ? x) 2 ? 1, 【详解】 因为a= x??? x x??? 3 3 x xb ? lim ?f (x) ? ax?? lim x x x??? x??? 3y ? x ? . 3 (1 ? x) 2 ? x 2 ? 3 x2 ， x 于是所求斜渐近线方程为 2 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点： 1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线； 2）若当 x ? ? 时，极限 f (x) a ? lim x?? x 不存在，则应进一步讨论 x ? ?? 或 x ? ?? 的情形，即在右或左侧是否存 在斜渐近线，本题定义域为x0，所以只考虑 x ? ?? 的情形. 3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令 x ? sin t ，则 (2 ? x (2 ? x 2 ) 1 ? x 2 0 ? sin t cos t ??2 dt ? ? 0 (2 ? sin 2 t) cos t ? ? ? 2 d cost ? ??? ?arctan(cost) 2 . ? ? = 0 1 ? cos2 t 0 4 【评注】 本题为广义积分，但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等. 4... 【分析】直接套用一阶线性微分方程 y? ? P(x) y ? Q(x) 的通解公式： y ? e?? P( x)dx [? Q(x)e ? P( x)dx dx ? C] ， 再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 y? ? 2 y ? ln x x ， y ? e?? 2 dx [? ln x ? e ? 2 dx dx ? C] ? 1 ?[? x 2 ln xdx ? C] x x 于是通解为 x 2 ? ? ? x ln x x C = 3 9 x 2 ， y(1) ? ? 由 1 1 1 ? ?y x ln x x. ? ? 9 得C=0，故所求解为 3 9 【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为 x 2 y? ? 2xy ? x 2 ln x ，即 [x 2 y]? ? x 2 ln x ，两边积分得 1 1x 2 y ? ? x 2 ln xdx ? x3 ln x ? x3 ? C 1 1 3 9 ， y ? 再代入初始条件即可得所求解为  1 1 ?x ln x x. ? 3 9 lim ?(x) ? 1 5…【分析】 题设相当于已知 x?0 ?(x)  ，由此确定k 即可. lim ?(x) ? lim ? 1 ? x arcsin xcos xx arcsin x ? 1 ? cos x 1 ? x arcsin x cos x x arcsin x ? 1 ? cos x kx2 ( 1 ? x arcsin x ? cos x ) lim = x?0 1 = 2k lim x?0 x arcsin x ? 1 ? cos x ? 3 x 2 4k ? 1 k ? 3 . ，得 4 【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限的计算. 6…【分析】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】 由题设，有 B ? (? ? ? ? ? , ? ? 2? ? 4? , ? ? 3? ? 9? ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ?1 1 1? (? ,? 1 2 = ,? )?1