2019届高考一轮复习北师大版理 108离散型随机变量的均值与方差、正态分布 学案.docxVIP

第 8 讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 离散型随机变量 X 的均值与方差 已知离散型随机变量 X 的分布列为 P(X＝x )＝p (i＝1，2，3，…，n)． i i 均值 均值(数学期望) 方差 计算 E(X)＝x p ＋x p ＋…＋x p 1 1 2 2 i i D(X)＝ (x －E(X))2p n 公式 ＋…＋x p i i n n i＝1 反映了离散型随机变量取 作用 值的平均水平 刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度 标准差 方差的算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差 分布期望方差两点分布二项分布E(X)＝pE(X)＝npD(X)＝p(1－p)D(X)＝np(1－p)均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X) 分布 期望 方差 两点分布 二项分布 E(X)＝p E(X)＝np D(X)＝p(1－p) D(X)＝np(1－p) 4.正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； 曲线在 x＝μ 处达到峰值 1 ； σ 2π 曲线与 x 轴之间的面积为 1； 当 σ 一定时，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移； 当 μ 一定时，曲线的形状由σ 确定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( ) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( ) 正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的均值，σ 是正 态分布的标准差．( ) 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( ) 均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) XP－112013116答案：(1)√ (2)√ (3)√ X P －1 1 2 0 1 3 1 1 6 设 Y＝2X＋3，则 E(Y)的值为( ) 7 A.3 C．－1 2 6 3解析：选A.E(X)＝－1＋1＝－1， 2 6 3 3 .3E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－2＋3 3 .3  B．4 D．1 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2，σ2)，且 P(ξ＜4)＝0.8，则 P(0＜ξ＜4)＝( ) A．0.6 C．0.3 解析：选A.由 P(ξ＜4)＝0.8，得 P(ξ≥4)＝0.2. B．0.4 D．0.2 又正态曲线关于 x＝2 对称，则 P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以 P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0) －P(ξ≥4)＝0.6. (2017·高考全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件， 有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 DX＝ ． 解析：依题意，X～B(100，0.02)， 所以 DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.96 一个人将编号为 1，2，3，4 的四个小球随机放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子， 每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时就放对了，否则就放错了．设放对个数记为 ξ，则 ξ 的期望的值为 ． 4解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A4种不同放法， 4 放对的个数 ξ 可取的值有 0，1，2，4，其中 P(ξ＝0)＝ 9 ＝3， A4 8 4 C1×2 1 C2 1 1 1 3 1 1 P(ξ＝1)＝ 4 4 ＝ ，P(ξ＝2)＝ 4＝ ，P(ξ＝4)＝ ＝ ，E(ξ)＝0× ＋1× ＋2× ＋ 244× 1 ＝1. 24 A 3 A4 4 4 4 A4 4 24 8 3 4 答案：1 (高频考点)  离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值与方差是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，多为中档题．高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下两个命题角度： 古典概型背景下的离散型随机变量的均值与方差； (2)与二项分布有关的均值与方差． [典例引领] 角度一 古典概型背景下的离散型随机变量的均值与方差 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为 3，3，4.现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会． 设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 A 发生的概率； 设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望与方差．