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PAGE 9 第1讲 递推数列与递推方法 一 概念概述 1．递推公式：我们在研究数列{an}时，如果任一项an与它的前一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。 2．递推数列：通过递推公式给出的数列，一般我们称之为递推数列。 3．递推方法：递推是指从已知的初始条件出发，逐步推出所要求的各个中间结果和最后结果。递推本质上属于归纳法。利用问题本身所具有的一种递推关系去解决问题的一种方法，称为递推方法。 二 引例分析 引例 (深圳实验高二数学周测题) 设正数数列的前项之和为，数列的前项之积为，且，则数列 中最接近2012的数是 　　　 。 分析一 归纳（从递推关系的角度） 分析二 转化（从等差数列与等比数列的角度） 分析三 模型（从递推式结构的角度） 三 递推数列常见类型 类型Ⅰ：（一阶递归） 其特例为： （1）时, 利用累加法，将，+,+…, 各式相加，得 +(n2) (2) 时,;利用累乘法, （3）时, 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列 法1：设 则，从而 亦即数列是以为首项，公比为p的等比数列， 从而可得：， 法2：由，则可得 ,从而又可得 即 (4)时, 可仿(3)中法(2)的的方法,若两边同除以可化简: ,令,则 若令,则待定函数 类型Ⅱ：（二阶递推） 解题方法：利用特征方程，求其根、， 若,构造，代入初始值求得。 若,构造,代入初始值求得。 类型Ⅲ:分式线性递推数列: (不动点法),由解得两个不动点、， 若,数列{是以为首项,为公比的等比数列; 若,数列是以为首项,为公差的等差数列. 四 递推方法的应用 。。。。。。。。。。。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。。 。 。 。 。 （1） （2） （3） （4） （5） …2．（2006广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）. … 五 练习 1．，，求通项 2．已知数列满足，求通项 3．已知数列满足，求通项 4．已知数列满足，求通项。 5．已知数列满足，求通项 6.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C 第1讲 递推数列与递推方法 一 概念概述 1．递推公式：我们在研究数列{an}时，如果任一项an与它的前一项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。 2．递推数列：通过递推公式给出的数列，一般我们称之为递推数列。 3．递推方法：递推是指从已知的初始条件出发，逐步推出所要求的各个中间结果和最后结果。递推本质上属于归纳法。利用问题本身所具有的一种递推关系去解决问题的一种方法，称为递推方法。 二 引例分析 引例 (深圳实验高二数学周测题) 设正数数列的前项之和为，数列的前项之积为，且，则数列 中最接近2012的数是 　　　 ． 分析一 归纳（从递推关系的角度） 分析二 转化（从等差数列与等比数列的角度） 分析三 模型（从递推式结构的角度） 三 递推数列常见类型 类型Ⅰ：（一阶递归） 其特例为： （1）时, 利用累加法，将，+,+…,各式相加，得 +(n2) (2)时,;利用累乘法, （3）时, 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列 法1：(常数变易法) 设 则，从而 亦即数列是以为首项，公比为p的等比数列， 从而可得：， 法2：由，则可得 ,从而又可得 即 (4)时, 可仿(3)中法(2)的的方法,若两边同除以可化简: ,令,则 若令,则待定函数 类型Ⅱ：（二阶递推） 解题方法：利用特征方程，求其根、， 若,构造，代入初始值求得。 若,构造,代入初始值求得。 类型Ⅲ:分式线性递推数列: (不动点法),由解得两个不动点、， 若,数列{是以为首项,为公比