五年级下册数学试题-竞赛专题：第3讲-质数和合数(含答案)全国通用.docxVIP

质数：1 个大于 1 的数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 合数：一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数，显然，在自然数范围内，最小的质数是 2，2 也是唯一的偶质数。最小的合数是4。 要判断 a 是否为质数，如果自然数n ? n ? a ，（n ? 1)? (n ? 1) ? a ，那么我们只要 知从最小的质数 2 开始试除 a，直到不大于 n 的最大质数，如果都不能整除a，那么 a 为质数。 知 识概我们可以按照一个数约数的个数，把自然数分成三类：0 和 1，质数和合数，因此，0 和 1 外的自然数，不是质数就是合数。 识 概 求一个数 N 所有的约数的个数： 123n123n述 用分解质因数形式表示为 N ? a p1 ? a 1 2 3 n 1 2 3 n p2 ? a p3 ????? a pn （ a 、a 、a 、L 、a 为 合数 N 的质因数）。所求的约数的个数 A ? ( p 1 ? 1)? ( p 2 ? 1)? ( p 3 ? 1)????? ( p n ? 1) 。 质数和合数例如504 ? 23 ? 33 ? 7 ，那么它有约数(3 ?1)? (2 ?1)? (1? 1) ? 24 （个）。 质数和合数 分解质因数： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，例如，12=2×2×3， 分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。 同学们必须熟练掌握 100 以内及其他常用合数的分解质因数。 常用的小于 100 的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 例 例 1 自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的两位自然数 有 个。 【解析】个位数只可能是 3、7，十位数可能是 2、3、5、7，这样的自然数有 4 个，23、37、53、73。 例 例 2 一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数。 【解析】依题意知，构成这个两位质数的数字只能为奇数，经检验，如下质数满足题意：11、13、17、31、 37、71、73、79、97。 例 例 3 两个质数的和是 2001，那么这两个质数的乘积是多少？ 【解析】只有一个奇数和一个偶数的和才为奇数，所以其中必然有一个偶数，即唯一的偶质数2，所以这两个质数的乘积为 2×1999=3998。 例 例 4 请把下面的数分解质因数 （1）420=  （2）550= 名师点题 名师点题 质数与合数的概念是数论知识的基础，在历年杯赛中质数与合数的性质以及利用 分解质因数的方法解决相关的整数问题一直也是数论方面考核的热点，所以掌握好质 数和合数方面有关的性质和结论对竞赛很有帮助。 【解析】（1）420=2×2×3×5×7 （2）550=2×5×5×11 【巩固拓展】 （全国华罗庚金杯数学邀请赛）如图，有三张卡片，在它们上面各写有一个数字，从中抽出一张、两 张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出来。 1 2 3 1 2 3 【解析】因为这三张卡片上的数字分别为 1、2、3。这三个数字的和为 6，能被 3 整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被 3 整除，因此不可能是质数。 再看两张卡片的情形。因为 1+2=3，根据同样的道理，用 1、2 组成的两位数也能被 3 整除，因此也不是质数，这样剩下要讨论的两位数只有 13、31、23、32 这四个了，其中 13、31 和 23 都是质数，而 32 不是质数。 最后，一位数有 2 和 3 是质数。 综上所述，满足要求的质数共有五个：2、3、13、23、31。 万尼亚想了一个三位的质数，各位数字都不相同。如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是 几？ 【解析】因为是质数，所以个位数不可能为偶数，也不可能为 5。如果末位数字是 3 或者 9，那么这个数的各位数字之和将是 3 或者 9 的倍数，将不是质数，所以末位数字只能是7。可以是 167、257、347、527 或 617 中间的任意一个。（437、707 是合数） 有三个不同的质数，它们的和是 40，这三个质数是多少？ 【解析】和为 40，所以这三个质数应该是两个奇数，一个偶数，即其中一个质数为 2，38=7+31，所以这三个质数分别为 2、7、31。 4. （2004 年走美杯试题）分解质因数 20034= 。 【解析】短除法分解质因数：20034=2×3×3×3×7×5