六年级上册奥数试题-第21讲：正方体和长方体_全国通用(含答案).docxVIP

第 21 讲 正方体和长方体 知识网络 长方体一共有六个面，每个面都是长方形（或正方形），并且相对应的两个面是全等的， 所以长方体一共有 3 对大小相等的面，即相对面的面积相等。长方体中两个面相交的边叫棱， 它共有 12 条棱，并且相互平行的棱的长度是一样的。长方体有8 个顶点，相交于同一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 长、宽、高相等的长方体叫做正方体，正方体的长、宽、高统称为棱长。正方体是长方体的特殊情况，它的六个面都是正方体且面积都相等，它的12 条棱长的长度也相等。 S=2(ab+bc+ca)；若正方体的棱长用字母a 表示，则其体积其表面积为若长方体的长、宽、高分别用字母a、b、 S=2(ab+bc+ca)；若正方体的棱长用字母a 表示，则其体积 其表面积为 。重点·难点 。 本讲主要涉及的问题有：立体图形的计数；立体图形上的最短路线；立体图形的分割与拼凑；立体图形的表面积与体积的计算。这四个问题是数学竞赛中常见的问题，是本讲的难点。 学法指导 针对上述四个问题，我们用相应的方法来求解。 么就将正方体分成个小正方体，而正方体的总个数有。立体图形的计数问题，有一个常用的结论：如果把正方体的每条棱长n 么就将正方体分成 个小正方体，而正方体的总个数有 。 立体图形上的最短路线问题，一般将立体图形展开在平面上，利用公理“两点之间，直线段最短”来求解。 立体图形的分割与拼凑，类似于平面图形的分割与拼凑，将不规则的立体图形拼凑成规则的或我们比较熟悉的立体图形。 立体图形的表面积与体积的计算，一般是将图形分成几个部分，对各个部分分别求出表面积或体积，再求出总的表面积或体积。 经典例题 [例 1]把十九个棱长为 1 厘米的正方体重叠起来，拼成一个立体图形，如图1 所示，求这个立体图形的表面积。 思路剖析 如果一个立体图形没有被“挖洞”的问题，那么它的表面积应该是从上、下、左、右和前、后六个方向看到的平面图形的面积的总和。而此立方体图形，从前后、上下、左右分别看到的图形分别如图 2 所示。 解答 由于此立体图形的三个面的投影的面积分别是10 平方厘米，8 平方厘米，9 平方厘米， 所以此立体图形表面积为（10+8+9）×2=54（平方厘米）。 [例 2]如图 3 所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿着虚线折，沿着实线粘）。请问：这个多面体的面数、顶点和棱数各是多少？ 思路剖析 要求这个多面体的面数，只要数出平面纸有几个面即可；而要求出它的顶点数，则要具 备一定的空间想像力，比如将上部分的正三角形的三边和三个正方形相连，从而得到 9 个顶点。已知面数、顶点数，要求棱数可以利用欧拉公式求解，所谓欧拉公式，即多面体的顶点 +多面体的面数-多面体棱数=2 . 解答 从展开图中可以看出，粘合的多面体有12 个正方形和 8 个三角形，从而它有 20 个面。这个多面体上部的中间是一个正三角形，它的三边与三个正方形相连，因此这个多面体 的上部共有 9 个顶点。同理，它的下部也有 9 个顶点，因此这个多面体的顶点数为18。由欧拉公式，这个多面体的棱数=20+18-2=36，即这个多面体有 36 条棱。 答：粘合后的多面体有 20 个面，18 个顶点，36 条棱。 [例 3]如图 4 所示是一个长方体，上、下两面被分成6×5=30 个正方形，前后两个面被分成 6×4=24 个正方形，左右两个面被分成 5×4=20 个正方形，那么图中共有多少个正方体？多少个长方体？ 思路剖析 一个正方体或长方体都有长、宽、高三个基本要素。只要从这三要素上任意取出一条线段就可以组成一个新的长方体，而正方体的个数，则要分大小来数出总数。 解答 图 4 中长方体的长边上有 6+5+4+3+2+1=21 条线段；宽边上有 5+4+3+2+1=15 条线段； 高上有 4+3+2+1=10 条线段。所以图形中的长方体（包含正方体）的总数有 21×15×10=3150 （个）。 而图 4 中有最小的正方体 6×5×4=120（个），由 8 个最小正方体组成的正方体有 5× 4×3=60（个），由27 个最小正方体组成的正方体有 4×3×2=24（个），由64 个最小正方体组成的正方体有 3×2×1=6（个），因此，图 4 中共有正方体 120+60+24+6=210 （个）。 [例 4]如图 5 所示，一长方体木板，它的长、宽和高分别为6 厘米。有一只小蚂蚁从这块木板的A 点出发爬到B 点（其中A 点、B 点均为这块板长与高的中点），请问，它要如何选择爬行路线，使所经过的路程最短？ 思路剖析 由于小蚂蚁是在长方体的表面上爬行，所以要求立体图形上的最短路线，必须把立体图 形的两个面展开在平面上。而在同一平面上，A、B 间的最短路线是连接这两点的直线段。不过，在本题中