求曲线轨迹方程专题.pdfVIP

轨 迹 方 程 问 题 常见的有六种求轨迹方程的方法： ①待定系数法：由几何量确定轨迹方程； ②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程； ③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程； ④“代入法”求轨迹方程； ⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程． ⑤“交轨法”求轨迹方程； 1．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求 解程序：①设动点P 的坐标为P(x，y)；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注 明范围． 1．设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a(mx,y1),向量b(x,y1),ab， 动点M(x,y)的轨迹为E．求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状； ab a(mx,y1) b(x,y1) a b mx y 102 2 解：因为 , , ，所以 · ＝ ， 2 2 即 mx y 1． 当m＝0 时，方程表示两条直线：y 1； 2 2 当m1时，方程表示的是圆：x y 1； 当m＞0 且m1时，方程表示的是椭圆； 当m＜0 时,方程表示的是双曲线． 2．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程 2．如图,圆O 与圆O 的半径都是1,O O =4,过动点P 分别作圆O 、圆O 的切线PM、PN （M、 1 2 1 2 1 2 N 分别为切点），使得PM  2PN试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程. 解：如图，以直线OO 为 轴，线段x OO 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则 1 2 1 2 两 圆 心 分 别 为 O(2,0), O (2,0) ． 设 P( x, y， 则 ， 同 理 1 2 PN (x2) y 12 2 2 ． 2 2 2 2 2 PM OP OM (x2) y 1 P 1 1 ∵PM  2PN ， ∴(x2) y 12[(x2) y 1]2 2 2 2 ， M 即x 12xy 302 2 ，即(x6) y 332 2 ． N 这就是动点 的轨迹方程． P 注：动圆圆心轨迹问题 ①动圆与两外离定圆均外切(含相交)；②动圆过定点且定圆外切；③动圆过定点且定直线 相切；④动圆与两定圆一个外切，一个内切；⑤动圆过定点且定圆相切． 3．参数法求轨迹方程： 1 例3．动圆P 过点A (0,1)且与直线y=-1 相切，O 是坐标原点，动圆P 的圆心轨迹是曲线C. （1）求曲线C 的方程； l D,E DE M （2）过A 作直线 交曲线C 于 两点，求弦 的中点 的轨迹方程； （3）在（2）中求ODE 的重心G 的轨迹方程。 解：(1)点P 到点A 的距离等于点P 到直线y= -1 的距离，故点P 的轨迹C 是以点A 为焦点， 2 直线y=-1 为准线的抛物线，所以曲线C 的方程 x =4y. (2)设M(x,y),D