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PAGE PAGE 1 《柯西不等式》单元测试题（1） 班级 姓名 一、选择题： 1．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则 3a＋2b 的最大值为( ) A．4 B．213 C．8D．9 A．4 B．2 13 C．8 D．9 m n 设x，y，m，n0，且 ＋ ＝1，则u＝x＋y 的最小值是 x y A．( m＋ n)2 B. m＋ n C．m＋n D．(m＋n)2 3．若a，b∈R，且 a2＋b2＝10，则a－b 的取值范围是( ) A．[－2 5，2 5] B．[－2 10，2 10] C．[－ 10， 10] D．[－ 5， 5] 4．已知 4x2＋5y2＝1，则 2x＋ 5y 的最大值是 ( ) A. 2B．1 C．3 D．9 A. 2 1 1 已知x，y∈R ，且xy＝1，则 1＋ 1＋ 的最小值为( ) ＋ x y 1 A．4 B．2 C．1 D. 4 设a、b∈R a2 b2 ，且a≠b，P＝ ＋ ，Q＝a＋b，则( ) ＋ b a A．PQ B．P≥Q C．PQ D．P≤Q 二、填空题： a b a b 1 1 已知 ， 0，且 ＋ ＝1 ，则 2 a＋b的最小值为 ； 函数y＝ x－5＋2 6－x的最大值是 ； 设 a，b，c，d，m，n 都是正实数，P＝ ab＋ cd，Q＝ ma＋nc· 的大小 ； 函数y＝2cos x＋3 1－cos 2x的最大值为 ； 11．函数y＝2 1－x＋ 2x＋1的最大值为 . 三、解答题： 若 2x＋3y＝1，求 4x2＋9y2 的最小值，并求出最小值点．  b d m＋n，则 P 与 Q a b a b 1 1 设 ， ∈R ，若 ＋ ＝2，求 ＋ 的最小值． ＋ a b 14．已知a 1－b2＋b 1－a2＝1，求证：a2＋b2＝1. 1 1 15．设a＋b＝ ，求证：a8＋b8≥ . 2 27 参考答案： 一、选择题： 已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则 3a＋2b 的最大值为( ) A．4 B．2 13 C．8 D．9 答案：B m n 设x，y，m，n0，且 ＋ ＝1，则u＝x＋y 的最小值是( ) x y A．( m＋ n)2 答案：A m＋ n C．m＋n D．(m＋n)2 若a，b∈R，且 a2＋b2＝10，则a－b 的取值范围是( ) A．[－2 5，2 5] B．[－2 10，2 10] C．[－ 10， 10] D．[－ 5， 5] 解析： ∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2， ∴|a－b|≤ 20＝2 5，∴a－b∈[－2 5，2 5]． 答案： A 4．已知 4x2＋5y2＝1，则 2x＋ 5y 的最大值是 ( ) A. 2C．3 D．9 解析： ∵2x＋ 5y＝2x·1＋ 5y·1 A. 2 ≤ 2x 2＋ 5y 2· 12＋12＝ 1· 2＝ 2. ∴2x＋ 5y 的最大值为 2. 答案： A 已知x，y∈R 1 1 ，且xy＝1，则 1＋ 1＋ 的最小值为( ) ＋ x y 1 A．4 B．2 C．1 D. 4 1 1 1＋ 1 解析： 1＋x 1＋y ≥ xy 2＝4，故选A. 答案： A 设a、b∈R  a2 b2 ，且a≠b，P＝ ＋ ，Q＝a＋b，则( ) ＋ b a A．PQ B．P≥Q C．PQ D．P≤Q a2 b2 解析： ∵ a b＋ a b (a＋b) ba＝ 2＋ 2 [( a)2＋( b)2] b a b＋a b b＋ b≥ · a 2＝(a＋b)2 b a a2 b2 a＋b 2 ∵a0，b0，∴a＋b0.∴ b＋a ≥ a＋b ＝(a＋b)． 又∵a≠b，而等号成立的条件是 a b a，b＝ a， b a a2 b2 即 a＝b，∴ b＋a a＋b.即 PQ. 答案： A 二、填空题： a b a b 1 1 已知 ， 0，且 ＋ ＝1 ，则 2 a＋b的最小值为 ； 1 1 a b 1 1 解析：∵ a＋b＝( ＋ ) 2a＋b 2 ＝[( a)2＋( b)2]  1 1 2ab2＋ 2 2a b a· 1 ＋ b· 1 2＝  1 ＋1 2 3 ＝ ＋ 2. 2 3 答案： ＋ 2 2 函数y＝ x－5＋2 6－x的最大值是 ； 解析：根据柯西不等式，知 2a b 2 y＝1× x－5＋2× 6－x≤ 12＋22× x－5 2＋ 6－x 2＝ 5. 5答案： 5 设 a，b，c，d，m，n 都是正实数，P＝ ab＋ cd，Q＝ ma＋nc· 的大小 ； 解析： 由柯西不等式，得  b d m＋n，则 P 与 Q am·bmnc·d am· b m nc· d n am 2＋ nc 2 b 2 ＋ m