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Quantum Mechanics and the hydrogen atom
Since we cannot say exactly where an electron is, the Bohr picture
of the atom, with electrons in neat orbits, cannot be correct.
Quantum theory describes
electron probability distributions:
MNW-L2
Hydrogen Atom:
Schrödinger Equation and Quantum Numbers
Potential energy for the hydrogen atom:
The time-independent Schrödinger equation in three
dimensions is then:
Equation 39-1 goes here.
MNW-L2
Where does the quantisation in QM come from ?
The atomic problem is spherical so rewrite the equation in (r,θ,φ)
x r sinθcosφ y r sinθsinφ z r cosθ
Rewrite all derivatives in (r,θ,φ), gives Schrödinger equation;
h2 ⎛ ∂ ∂⎞ h2 ⎛ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ⎞
2 Ψ− ⎜ θ + ⎟Ψ+ Ψ Ψ
− ⎜ r ⎟ ⎜ θ θ∂ sin ∂θ 2 2 ⎟ V(r) E
∂ ∂
2m ⎝ r r ⎠ 2m ⎝sin sin θ φ∂ ⎠
This is a partial differential equation, with 3 coordinates (derivatives);
Use again the method of separation of variables:
Ψ(r,θ,φ) R (r )Y(θ,φ)
Bring r-dependence to left and angular dependence to right (divide by Ψ):
2 OQM Y θφ
( )
1 ⎡d 2 dR 2mr ⎤ θφ ,
r E V r R
⎢ + 2 ( − ()) ⎥ − λ
R dr dr Y( )
θφ
⎣ h ⎦ , Separation of variables
MNW-L2
Where does the quantisation in QM come from ?
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