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初中数学竞赛专题选讲 线段、角的相等关系 一、内容提要 证明线段、 角的相等， 在直线形中， 最常用的方法是找全等三角形或等 腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。 构造全等三角形， 要充分利用已知条件中的对应相等关系， 添引辅助线 要有利于增加对应相等的元素， 要注意总结辅助线的规律， 观察两个三角形 全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等） 一 . 证明两条线段相等常用的定理 1. 在同一个三角形中，证明等角对等边。 2. 在两个三角形中，证明全等。 3. 在平行线图形中①应用平行四边形的性质 ②用平行线等分线段定理 x y x y 4.运用比例式证明相等：若 则 x=y ；若 则 x=y a a y x 5.应用等量代换、等式性质 二 .证明两个角相等常用的定理 1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。 2. 在两个三角形中，证明全等或相似。 3.在平行线图形中 ① 用平行四边形的对角相等 ② 行线的同位角相等，内错角相等 ③ 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等 ④ 角（或等角）的余角（或补角）相等 ⑤ 用等量代换、等式性质 二、例题 例 1.证明等腰梯形的判定定理“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形” 已知：梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠ A ＝∠ B 求证： AD ＝ BC 下面提供三种基本证法： 1. 把 BC 、AD 集中到同一个三角形，证它等腰三角形。 辅助线是：过点 D 作 DE ∥BC ，我们称它为“平移” ∵BCDE 是平行四边形，可证△ DAE 为等腰三角形 2. 以 BC 、AD 为对应边，构造两个全等三角形，为增加对应相等的元素， 辅助线为：作两条高 CM 和 DN ，根据夹在平行线间的平行线段相等， 130 可用角角边证全等。 3. 由∠ A ＝∠ B ，可造等腰三角形，运用比例式性质证明，辅助线是：分 别延长 AD 和 BC 交于 P。 P D C D C D C A E B A N M B A B 例 2. 已知：在梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，AC 和 BD 相交于 O,AD 、BC 的延 长线相交于 P 求证： PO 平分 AB P 证明：设 PO 延长线交 AB 于 E ，交 CD 于 F D F C ∵AB ∥CD O DF PF CF CF CO DF ∴ ＝ ＝