线性代数与空间解析几何(第三版）全书课件电子教案汇总.PPT

柯西不等式 证 二 、 标准正交基 1. 正交向量组 例1 设 A 是 n 阶反对称矩阵，x 是 n 维列向量，且 Ax=y , 证明：x 与 y 正交 . 证 定理1 正交向量组线性无关 . 证 线性无关向量组未必是正交向量组 . 解 例2 2. 标准正交向量组 三、施密特正交化方法 任一线性无关向量组都可标准正交化 . 把线性无关向量组 标准正交化 例3 设 解 例4 将 解 为什么 ？ 一、相似矩阵的基本概念 二、矩阵的相似对角化 5.2 矩阵的相似对角化 返回 一、相似矩阵的基本概念 例 解 一、 矩阵相似的定义与性质 定义 定理1 相似矩阵有相同的特征值. 思考：相似矩阵有相同的行列式？ 证 二、 矩阵的相似对角化 定理2 证 定理3 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 . 证 定理4 矩阵 A 不同特征值的特征向量线性无关 . 证 推论1 如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则 A 与对角矩阵相似 . 证 推论3 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似 例1 设矩阵 解 例2 设矩阵 解 例3 下列矩阵能否与对角矩阵相似 . A ~ diag ( 1 , -1 , 3 ) 解 B ~ diag ( 0 , 1 , 1 ) 例4 设 求x与y应满足的条件 . 解 例5 设 证 例6 设 A 是 3 阶矩阵且 I + A , 3I－A ,I－3A 均不可逆 .证明 ： 证 5.3 n维向量空间的正交化 一、内积 二、标准正交基 三、施密特正交化方法 四、正交矩阵 返回 一 、内积 1.定义 2.性质 3. 长度 (3) 单位向量 1. 证 思考题 已知四元齐次方程组 及另一 四元齐次方程组 的通解为 2. 解 3. 解 方法1 方法2（更简单）： 线性无关，所以为AX = 0的基础解系. 为AX = b 的解. 一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的计算 四、思考题 5.1 基本概念与计算 返回 例 矩阵 一、 定义 二、 性质 定义 特征子空间 三、计算 特征多项式 例1 例2 求矩阵A的特征值与特征向量 解 特征值的重数与其对应的线性无关特征向量个数的关系 例3 设 求A的特征值与特征向量 解 例4 设 A2 = A , 证明：A 的特征值为 0 或 1 . 证 例5 设矩阵 A 可逆且 解 例6 证 例7 设A是奇数阶实矩阵， 证 思考题 ： 例 解 定理3 若向量组?1, ?2, …, ?r 可由?1, ?2 , …, ?s线性表出， 且?1, ?2, …, ?r 线性无关，则 r≤s. 证 为便于书写，不妨设向量均为列向量，设 A =(?1, ?2, …, ?r ), B = (?1, ?2 , …, ?s), 因?1, ?2, …, ?r 可由?1, ?2 , …, ?s线性表出,所以存在 K =(kij )s×r = (?1, ?2 , …, ?r), 使得 A=BK. x1 ?1+ x2 ?2 + …+ xr ?r = 0 则有不全为零的数x1, x2, …, xr使 所以 AX=BKX=B0=0. AX=0有非零解，则?1, ?2, …, ?r 线性相关，矛盾！ 若 r s, 则?1, ?2 , …, ?r 线性相关, 两向量组秩的关系： 若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 组(Ⅰ)的秩 r1≤ 组(Ⅱ)的秩 r2. 证 设 为(Ⅰ) 的最大无关组， 为(Ⅱ) 的最大无关组. 组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出,所以 可由 线性表出, 又 线性无关， 故 r1≤ r2. 若组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价，则 组(Ⅰ)的秩 r1= 组(Ⅱ)的秩 r2. 定理4 设 是?1, ?2, …, ?s的线性无关部 分组，它是最大无关组的充要条件是?1, ?2, …, ?s中每一个向量均可由 线性表出. 若?1, ?2, …, ?s可由 线性表出, 则?1, ?2, …, ?s中任r + 1个向量线性相关， 是最大无关组. 若 是?1, ?2, …, ?s的最大无关组， 结论显然 必要性： 证 充分性： 例6 设A, B