线性代数全书课件电子教案汇总.pptVIP

*例4.14. 已知3阶矩阵A和3维列向量x，使得向量组 x, Ax, A2x线性无关，且满足 A3x=3 A x?2 A2 x. (1) 记P=（x, Ax, A2x）求3阶矩阵B使A= PBP?1; (2 ) 计算行列式?A+I?。 解(1) 法1 若A= PBP?1 , 则 B= P?1AP = P?1A（x, Ax, A2x）= P?1（A x, A2x, A3x） = P?1(A x, A2x, 3 A x?2 A2 x) = P?1(x, Ax, A2x) P P?1 P=I ∵ ( ) 法2. 令B=[bij], 由A P=PB，即 A (x，Ax，A2x)=(x，Ax，A2x) 两边对应的列分别相等 ,得： 解(2) 得?1=0，?2=?3, ?3=1, A+I 的特征值为 所以，?A+I?=(?1+1)( ?2+1)( ?3+1)= 1· (?2) · 2= ?4. ?i+1. #例4.15 设A是n阶矩阵，若 中有一个成立，则A的所有特征值?i (i=1,2,…,n) 的模 （对实特征值是指绝对值）都小于1，即 |?i |1 。 证 设Ax=?x (x ?0),得 记 ，则有 若条件(1)成立，则 |?|1，得 |?i|1 。 同理，若条件(2)成立，则AT的所有特征值即A的所有 特征值的模都小于1. *例4.16 试验性生产线每年一月进行熟练工和非熟练工的人数统计，然后将1/6熟练工支援其他部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新老非熟练工经培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工。 设第n年一月份统计熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn, yn， 记成向量 xn=[xn, yn]T， (1) 求 的关系式并写成矩阵形式 （2）验证 是的两个线性无关的特征向量， 并求出相应的特征值； 时，求 （3）当 解(1) 设第n年熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn, yn， xn+1是由上一年留下的熟练工加上新招的和上一年非熟练工 yn两者经培训考核后的2/5（成为熟练工）组成，即 yn+1是由新招的和上一年非熟练工yn 两者经培训考核 后余下的3/5（为非熟练工）组成，即 ， 写成 矩阵 形式 解(2) 求特征值。 计算 特征值 ?1=1 对应的特征向量是 对应的特征向量是 ∵?1??2，∴A与对角矩阵相似,令P=[?1, ?2], 则 P?1AP =diag(1, ) 解（3）递推得 第n+1年的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 (3) (4) (3)式减去(4)式， 得 根据归纳假设 线性无关，于是 ， 代入(2)式得 由题设， 线性无关，所以 。 线性无关。 根据归纳法，定理得证。 定理4. 7 设?0是n阶矩阵A的 k 重特征值，属于?0 的线性 无关的特征向量的最大个数为 l, 则 k ? l. 在{x1, x 2,?, xl}中添加xl+1,?, xn使得x1,?, xl, xl+1,?, xn 线性无关。由于Axj， x1,?, xl, ? ，xn 线性相关， Axj可经x1,?, xn 线性表示： Axj=b1jx1+?+bl jxl +bl +1,jxl +1+?+bnjxn , j= l+1,?,n. (2) 证 设 是A的对应于?0的线性无关的特征向量， 满足 Axi=?0xi， i=1,…,l 将(1) (2)式中的n个等式写成一个矩阵等式： 记 P=（x1,?, xl, xl+1,?, xn）, (3)式为： (3) 因为相似矩阵的特征多项式相同。 ?0 是A的大于或等于l 重的特征值 是?的 n ? l 次多项式, ?0是A的 k 重特征值 即 k ? l 。 定理4.8 n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是：A的每个特征值对应的线性无关的特征向量的最大个数等于该特征值的重数(证明略去)。 定理4.8指出：若存在A的一个k重特征值?0所对应的 线性无关的特征向量少于k个，则A不与对角阵相似。 例4.6 下面给出的n阶矩阵A是否与对角阵相似？ 解 由于A的特征方程 0是A的n重特征值，其对应的特征向量是Ax=0的解。由 r(A) = n?1，得到Ax=0的基础解系含 n?r(A) =1个解向量，即零特征值对应的线性无关的特征向量只有一个， 根据定理4.8，矩阵A不与对角阵相似。 例4.7 已知 , A～B, (1) 求 x 和y; (2) 求一个可逆矩阵P，使P?1 AP为对角