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[研究生入学考试题库]考研数学一模拟491 一、选择题问题:1. 设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f(x)＞0，f(x)＜0，则当x＞0时有______．A.f(x)＜0，f(x)＜0B.f(x)＞0，f(x)＞0C.f(x)＞0，f(x)＜0D.f(x)＜0，f(x)＞0答案:A[解析] 因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)，即f(x)为偶函数，f(x)为奇函数，故由x＜0时有f(x)＞0，f(x)＜0，得当x＞0时有f(x)＜0，f(x)＜0，选A．问题:2. 函数在(0，0)处______A.不连续．B.偏导数不存在．C.可微．D.偏导数连续．答案:C[解析] ，故f(x，y)在(0，0)处连续．  故f(x，y)在(0，0)处存在偏导数．   故f(x，y)在(0，0)处可微．  可以检验偏导数在点(0，0)处不连续   不存在，故fx(x，y)在(0，0)处不连续，同理fy(x，y)在(0，0)处也不连续，所以f(x，y)在(0，0)处偏导数不连续． 问题:3. 设fx(a，b)存在，则等于______ A．fx(a，b)  B．0  C．2fx(a，b)  D． 答案:C[解析] 本题考查偏导数的定义． 问题:4. 二维随机变量(X，Y)服从区域D上的均均分布，D由y=1-x2和x轴围成，则______ A．(X，Y)关于X，关于Y的边缘分布相同  B． C．X，Y相互独立  D．X，Y不独立 答案:D[考点] 随机变量的独立性[解析] 区域D的面积为A，则  (X，Y)的概率密度为    故fX(x)≠fY(y).  而； 当(x，y)∈D时，fX(x)fY(y)≠(x，y). 即X，Y不独立. 选D. 问题:5. 设δ＞0，在区间(-δ，δ)内f(x)＞0，又f(0)=0，f(0)=0，记 ，则______A.I=0．B.I＞0．C.I＜0．D.不确定．答案:B[解析1] 本题的关键是判断f(x)在(-δ，δ)上的符号． 由f(0)=0又因f(x)＞0，所以f(x)单调增加，因此在(-δ，0)和(0，δ)上分别有f(x)＜0和f(x)＞0，从而f(x)在(-δ，0)上单调减少，在(0，δ)上单调增加，由于f(0)=0，于是有在(-δ，δ)上除f(0)=0外，其他点x有f(x)＞0，从而，因此选B．[解析2] 由条件知，f(x)在(-δ，δ)是凹的f(x)＞f(0)+f(0)x=0，x∈(-δ，δ)，x≠0，选B．问题:6. 设，，，则______A.N＜P＜M．B.M＜P＜N．C.N＜M＜P．D.P＜M＜N．答案:D[解析] 观察发现，积分区间关于x=0对称，故可利用奇偶函数在对称区间上定积分的性质，确定M，P，N的大小，因为M的被积函数为奇函数，故M=0．  由上可得P＜M＜N． 问题:7. 设函数f(x，y)在点(x0，y0)处取极大值，则下列结论正确的是______A.fx(x0，y0)=fy(x0，y0)=0．B.fxx(x0，y0)fyy(x0，y0)-(fxy(x0，y0))2＞0，且fxx(x0，y0)＜0．C.-f(x0，y)在y0处取极小值．D.|f(x，y)|在(x0，y0)处取极大值．答案:C[解析] 由于f(x，y)在点(x0，y0)处取极大值，则f(x0，y)在y=y0处取极大值，则在y=y0的某邻域内 f(x0，y)≤f(x0，y0)，从而有  -f(x0，y)≥-f(x0，y0)即-f(x0，y)在y0处取极小值，故应选C． 问题:8. 设，则f(x)在点x=0处 ______A.极限不存在．B.极限存在但不连续．C.连续但不可导．D.可导．答案:C二、填空题问题:1. 答案:[解析] 问题:2. 计算 答案:[解析] 改变积分次序得 问题:3. 曲线在t=1处的曲率K=______．答案:[解析] 因为  因此 问题:4. 答案:[解析] 问题:5. 若，则a=______，b=______．答案:1，-4[解析] 因为，且=0，所以=0，得a=1，于是由等价无穷小代换 ， 得b=-4．因此，a=1，b=-4． 问题:6. 设矩阵A