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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟239 解答题问题:1. 求．答案:解：设，通分后应有2x+3≡A(x+5)+B(x-2)．在这个恒等式中，令x=2★，得7=7A，A=1；令x=-5，得-7=-7B，B=1． 于是   ★的说明：这是一种习惯的说法，实际上，从严格的数学理论上来讲，不能直接令x=2(因为2x+3≡A(x+5)+B(x-2)是由变形而得到，即该恒等式是当x≠2及x≠-5时得出来的)，而应令x→2取极限，得7=7A．[考点] 不定积分、定积分、反常积分问题:2. 设f(x)=a0+a1x+…+amxm，A是一个n阶矩阵，定义 f(A)=a0En+a1A+…+amAm  称矩阵f(A)是A的一个多项式．证明：如果A～B，那么f(A)～f(B)． 答案:证明：设A～B，则存在n阶可逆矩阵P，使得B=P-1AP．从而 f(B)=a0En+a1B+…+amBm =a0En+a1P-1AP+…+amP-1AmP =P-1(a0En+a1A+…+amAm)P =P-1f(A)P 因此f(A)～f(B)．[考点] 特征值与特征向量问题:3. 求．答案:解：令f(x)=arctanx，由拉格朗日中值定理得  其中，则 [考点] 连续、导数、微分(Ⅱ)问题:4. 设f(x)可导，计算，α≠0，β≠0．答案:解： [考点] 连续、导数、微分(Ⅰ)从点(x0，0)向位于(0，0)的敌机发射导弹，发射导弹向飞机击去，其中x0＞0．若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数2v．5. 求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件； 答案:解：设导弹在t时刻的坐标为A(x(t)，y(t))，其运行轨迹方程为y=y(x)．在某时刻t≥0，飞机的位置为B(0，vt)，因为导弹的速度方向始终指向飞机，从而在t时刻导弹运行轨迹曲线的切线斜率与线段AB的斜率相等，于是有  即  上式两边对x求导，得  因为导弹的速度为2v，所以有  代入①，可得  y=y(x)所满足的初始条件为y(x0)=0，y(x0)=0．[考点] 常微分方程及其应用6. 求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需要的时间T. 答案:解：令，则上述微分方程可变为  解得  即  解得导弹运行的轨迹方程为  当导弹击中飞机时x=0，代入上式得，令vT-y(0)=0得，即为导弹击中飞机所需时间．[考点] 常微分方程及其应用问题:7. 求曲线y=x2ln(ax)(a＞0)的拐点M，并求当a变动时拐点M的轨迹方程．答案:解：  令y=0，得，此时，所以拐点为．当a变动时M的轨迹为．[考点] 一元函数微积分问题:8. 证明：设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩为r(r＜n)，其中A=(aij)nn．如果δ1，δ2，…，δm都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，那么 r{δ1，δ2，…，δm}≤n-r 答案:证明：取齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系：η1，η2，…，ηn-r．由于δ1，δ2，…，δm都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，因此δ1，δ2，…，δm可以由η1，η2，…，ηn-r线性表出．从而r{δ1，δ2，…，δm}≤r{η1，η2，…，ηn-r}=n-r．[考点] 线性方程组问题:9. 如图所示，设有曲线，过原点作其切线，求此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积． 答案:解：先求切线方程：在(x0，y0)处的切线为，将(x，y)=(0，0)代入，解得x0=2，，则切线方程为(0≤x≤2)，绕x轴的旋转面面积为  而由直线段绕x轴的旋转面面积为  由此，旋转体的表面积为．[考点] 一元函数微积分问题:10. 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却．试求物体温度随时间t的变化规律．答案:解：根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t)，则可建立起函数T(t)满足的微分方程  其中k(k＞0)为比例常数．分离变量，得  两边积分  得 ln|T-20|=-kt+C1 (其中C1为任意常数) 即