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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟534 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．问题:1. 设ξ1=(1，-2，3，2)T，ξ2=(2，0，5，-2)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组Ax=0的解向量的是______A.α1=(1，-3，3，3)T．B.α2=(0，0，5，-2)T．C.α3=(-1，-6，-1，10)T．D.α4=(1，6，1，0)T．答案:C[解析] Ax=0的基础解系为ξ1，ξ2，若αi是Ax=0的解向量αi可由ξ1，ξ2线性表出非齐次线性方程组ξ1y1+ξ2y2=αi有解．逐个判别αi较麻烦，合在一起作初等行变换进行判别较方便．  显然因r(ξ1，ξ2)=r(ξ1，ξ2，α3)=2，ξ1y1+ξ2y2=α3有解，故α3是Ax=0的解向量．故应选C．而r(ξ1，ξ2)=2≠r(ξ1，ξ2，αi)=3，i=1，2，4，故α1，α2，α4不是Ax=0的解向量． 问题:2. 设矩阵．已知矩阵A相似于B，则r(A-2E)与r(A-E)之和等于______A.2．B.3．C.4．D.5．答案:C问题:3. 设u=xyz，x＞0，y＞0，则=______．A.xyz·(ln x)·yB.xyz·(lnx)·yz·(lny)C.xyz·(lnx)·yzD.xyz·yz·(lny)答案:B[考点] 多元复合函数求偏导数． 理清复合关系求导即可．  解：由幂函数求导公式得  =xyz·(lnx)·yz·(lny)． 故应选B． 问题:4. 设函数f(x)=arctanx，若函数f(x)=xf(ξ)，则= A．1.  B． C． D． 答案:D[解析] 关键是将极限式中的变量ξ转化为x，再按正常求极限方法进行． 由已知条件f(x)=xf(ξ)，有因此 于是 题设条件就是把函数f(x)=arctanx在区间[0，x]上利用Lagrange中值定理所得． 问题:5. 设，则A与B______。A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似答案:C[解析] 由|λE-A|=0得A的特征值为1，3，-5，由|λE-B|=0得B的特征值为1，1，-1，所以A与B合同但不相似，选C．问题:6. 当x→0+时．若lnα(1+2x)，均是比x高阶的无穷小量，则α的取值范围是 A．(2，+∞)．  B．(1，2)．  C． D． 答案:B[解析] 当x→0+时，lnα(1+2x)～2αxα是x的α阶无穷小，是x的阶无穷小． 由题意可知α＞1，．所以α的可能取值范围是(1，2)，应选B．问题:7. 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A.-2f(0)．B.-f(0)．C.f(0)．D.0．答案:B[解析] 根据导数定义：，有  因此选B．  可以取一个具体的f(x)，如f(x)=x，则A，C，D都被排除． 问题:8. 设f(x，y)=|x-y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则φ(0，0)=0是f(x，y)在点(0，0)处可微的______A.必要条件但非充分条件．B.充分条件但非必要条件．C.充分必要条件．D.既非充分又非必要条件．答案:C[解析] 先证充分性．设φ(0，0)=0，由于φ(x，y)在点(0，0)处连续，所以由于  故  所以   按可微定义，f(x，y)在点O(0，0)处可微，且df(x，y)=0·Δx+0·Δy，即fx(0，0)=0，fy(0，0)=0．  再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则fx(0，0)与fy(0，0)必都存在．   其中x→0+时，取“+”，x→0-时，取“-”．  由于fx(0，0)存在，所以φ(0，0)=-φ(0，0)，从而φ(0，0)=0．证毕． 二、填空题问题:1. 答案:．[解析]  也可以直接使用洛必达法则，但不如上面凑差函数直接等价代换方便． 问题:2.答案:2(e2+1)．[解析]问题:3. 设，B=P-1AP，其中P为3阶可逆矩阵，则B2004-2A2=______．答案:问题:4. 椭圆绕x轴旋转一周生成的旋转曲面S的面积=______．答案:[解析]  (*)处x→±2时，被积函数可约分，极限存在，所以积分存在． 问题:5.答案:0[