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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟463 一、选择题问题:1. f(x)在x0处存在左、右导数，则f(x)在x0点______A.可导．B.连续．C.不可导．D.不连续．答案:B[解析] 直接从条件出发，由f+(x0)，f-(x0)均在x=x0既左又右连续，(x)在x=x0连续，因此选B．问题:2. 设D：x2+y2≤16，则等于______．A.40πB.80πC.20πD.60π答案:B[考点] 二重积分 [解析] ，选(B)．问题:3. 设f(x)在[a，b]连续，则下列结论中正确的个数为 ①f(x)在[a，b]的任意子区间[a，β]上，则  ②f(x)≥0(x∈[a，b])，又，则f(x)=0(x∈[a，b])．  ③[a，β][a，b]，则 A.0．B.1．C.2．D.3．答案:C[解析] 我们要逐一分析． 结论①正确．由条件  结论②正确．由条件   结论③错误，如下图所示，由定积分几何意义知，    ，其中[α，β][a，b]．  因此选C． 问题:4. 设A为m×n矩阵，且r(A)=m＜n，则下列结论正确的是______． A．A的任意m阶子式都不等于零  B．A的任意m个列向量线性无关  C．方程组AX=b一定有无数个解  D．矩阵A经过初等行变换化为 答案:C[解析] 因为A与都是m行，所以，所以方程组AX=b一定有无数个解，选C.问题:5. 设常数k＞0，函数在(0，+∞)内零点的个数为______．A.3B.2C.1D.0答案:B[考点] 利用介值定理讨论零点的存在性，利用单调性确定零点的个数[解析] 因为，令f(x)=0，得x=e．易知f(x)在内(0，e)单调增加，在(0，+∞)内单调减少，且f(e)=k＞0，而，可见在f(x)在(0，e)和(e，+∞)分别有且只有一个零点，从而f(x)在(0，+∞)内有两个零点．问题:6. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中： ①若A可逆，则B可逆；  ②若A+B可逆，则B可逆；  ③若B可逆，则A+B可逆；  ④A-E恒可逆．  正确的个数为______ A.1B.2C.3D.4答案:D[解析] 由于(A-E)B=A，可知当A可逆时，|A-E||B|≠0，故|B|≠0，因此B可逆，可知①是正确的． 当A+B可逆时，|AB|=|A||B|≠0，故|B|≠0，因此B可逆，可知②是正确的．  类似地，当B可逆时，A可逆，故|AB|=|A||B|≠0，因此AB可逆，故A+B也可逆，可知③是正确的，  最后，由AB=A+B可知(A-E)B-A=O，也即(A-E)B-(A-E)=E，进一步有(A-E)(B-E)=E，故A-E恒可逆．可知④也是正确的．  综上，四个命题都是正确的，故选D． 问题:7. “|f(x)|在x=a处可导”是“f(x)在x=a处可导”的______A.充分条件而非必要条件．B.必要条件而非充分条件．C.既非充分又非必要条件．D.充分必要条件．答案:C[解析] 举反例说明既非充分又非必要条件例如设  |f(x)|=1在x=a处可导，但f(x)在x=a处不连续，不可导．又如，设f(x)=x-a，在x=a处f(x)可导，f(x)=1．但|f(x)|=|x-a|在x=a处形成尖点，|f(x)|在x=a处不可导． 问题:8. 曲线y=ln(1+ex)渐近线的条数为______A.0．B.1．C.2．D.3．答案:D[解析] 因为，所以x=0为垂直渐近线；又，所以y=0为水平渐近线；进一步   于是有斜渐近线：y=x，故应选D． 二、填空题问题:1.答案:[解析] 而 问题:2. 设f(x)在x=a处可导，则 答案:2f(a)×5f(a)=10f(a)f(a)[解析] 因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于是 问题:3. 设，B为三阶非零矩阵，且AB=O，则r(A)=______．答案:2[解析] 因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．问题:4. 若二次型f(x1，x2，x3)=是正定的，则a的取值范围是______．答案:[解析] 二次型f的矩阵为． 因为f是正定的，因此矩阵A的顺序主子式全部大于零